集合的含义和概念
在生活中，我们常常把具有相似性质的对象放在一起分析研究，例如，班上所有参加运动会的同学；图书馆中所有的工具书；网袋完好的篮球架。
在数学学习中，我们也接触过一些这样的处理方式，例如：对100进行因数分解，需要列举1-10所有的素数；到定点距离相等的点组成的图形是圆；介于1和3的实数，在数轴上是一条两个单位长的线段。
我们称被研究的个体对象，例如一个同学，2，圆上的一个点，为元素；这些元素组成的整体，例如运动会名单，{2,3,5,7},圆，为集合
显然4不是1到10的素数，圆外的点也不属于圆这个集合
集合中的元素应当是确定的，不能模棱两可。
含混不清的描述会导致在处理一些对象时不知所措，这种抽象便失去了意义。
1.下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)3的近似值的全体．
2.下列所给的对象能构成集合的是________．
(1)所有正三角形；
(2)必修1课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生．
元素和集合的关系
也就是说给定一个集合，那么任意一个元素，要么在这个集合中，要么不在，不可能出现既在，又不在的情况，这也是集合的确定性的一种表述。
关系 概念
记法
读法
属于
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A
a
∈A
a 属于
集合A
不属于
如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A
a ?A
a 不属
于 集合A
常用数集及表示符号
名称 自然数集
正整数集 整数集
有理数集
实数集
符号
N N *
或N ＋
Z Q R
3.设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或?)． 答案 ? ∈
4.所给下列关系正确的个数是( ) ①－12
∈R ；②2?Q ；③0∈N *；④|－3|?N *
.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 B
5.已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为 2或4
集合A 中的元素x 满足
6
3－x
∈N ，x ∈N ，则集合A 中元素有__________． 答案 0,1,2
6.若x ∈N ，则满足2x －5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 3 解析 由2x －5＜0，得x ＜5
2，又x ∈N ，
∴x ＝0,1,2，故所有元素之和为3.
7.已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2＜x ＜a ，又集合P 中恰有三个元素，则a 的取值范围是________.57a <<
8.集合A 由方程2
10103x x -
+=的解组成，求A 中所有元素之和________. 103
9.已知圆O,圆O 上所有的点构成的集合为集合A,圆内所有点构成的集合为集合B,圆外所有点构成的集合为集合C ，又已知三点P,R,Q,其中P 到圆心的距离等于圆的半径，R 到圆心的距离小于圆的半径，Q 到圆心的距离大于圆的半径，写出元素P,R,Q 和集合A,B,C 的关系
互异性（唯一性）
讲解：还是以运动会为例，肯定有同学报了2个，甚至更多项目，但在简单统计与会人员时，并不会重复对其进行登记，也就是说在抽象的过程中，重复的元素被省略掉，集合中的元素不会重复出现，既然如此，一个集合中的元素自然也是互不相同的。
10.1,，32，1
2
组成的集合含有____个元素 3个
11.若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 D
12.已知1∈{a 2
，a }，则a ＝________ -1
13.已知集合A 中只含有1，a 2
两个元素，则实数a 不能取的值为________． 答案 ±1
14.由2
11
,,||,,||,022
a a a a a a -+组成的集合，最多有几个元素，最少有几个元素 最多3个，最少0个
集合性质综合问题
15.已知集合A 是由0，m ，m 2
－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为 3 16.已知集合A 是由a －2,2a 2
＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a . a ＝－32
.
17.设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，b a
，b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________ 0
18.已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2
，且M ＝N .求a ，b 的值
19.由2
4,21,a a --可以构成一个有三个元素的集合A ,则a 不能取哪些值 20.由9,5,1a a --可以构成一个有三个元素的集合B ,则a 不能取哪些值 21.已知9A ∈,试求满足满足条件的所有a
5要排除 3要排除 -3可以留下
22.设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则1
1－a ∈A (a ≠1)．
求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能只有一个元素
集合的笛卡尔积
23.{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈定义集合间的运算，
已知集合{1,2,3}A =,{1,2,3}B =,用列举法表示A B ⨯
已知集合A 中有10个元素，集合B 中有20个元素，则A B ⨯中有____个元素 如果认为数轴上的点是R 中的元素，那么R R ⨯中的元素是_____ 中的点
24.运算的封闭
如果某种二元运算，对于集合S ，任取集合S 中的两个元素进行该运算得到的结果仍然是集合S 的元素，则称这种运算在集合S 上是封闭的。
例如加法在正整数集上是封闭的，任意两个正整数之和仍然是正整数，而减法对于正整数集就不是封闭的。
试判断下列运算在给定集合上是否是封闭的
(1).加法 {|21,}S x x k k Z ==+∈ (2).乘法 {|21,}S x x k k Z ==+∈
(3).除法 Z (4).除法 Q
类似的，如果某种一元运算，对于集合S ，任取集合S 中的一个元素进行该运算得到的结果仍然是集合S 的元素，则称这种运算在集合S 上是封闭的
试判断下列运算在给定集合上是否是封闭的
(1)平方 N （2）开平方取正平方根 2
{|,}S x x k k Z ==∈ (3)开平方取正平方根 N +
(4)开平方取正平方根 Q
25.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集。
给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界），其中为凸集的是（??? ）（写出所有凸集相应图形的序号）
悖论：
26.罗素悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢
27.谎话悖论：假设世界上只有假话和真话，我说：现在我说的这句话是谎话，那么这句话是谎话还是真话呢。