第2 西瓜开门 滚到成功●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范［题1］ (2006年赣卷第5题)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有A. f (0)＋f (2)< 2f (1)B. f (0)＋f (2)≤2 f (1)C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1)D. f (0)＋f (2)>2f (1)［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目.其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况；其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况.因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件.(ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件.综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C.［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0.［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.(ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1).满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C.［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)34 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合条件. (右图水平直线)(ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1)f '(x )≥0若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C ，D(右图下拱曲线). 则满足条件(x -1) f '(x )≥0.［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x )，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x -1) f '(x )≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.［变题］ 以下函数f (x )，具有性质(x -1) f '(x )≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是A. f (x )= (x-1)3B. f (x )= (x-1)21C. f (x )= (x-1)35D. f (x )= (x-1)20052006［解析］ 对A ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义；对C ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D. 对D ， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f '(x )=20052006(x-1)20051 使得 (x-1) f ＇(x ) =(x-1)20052006(x-1)20051 ≥0. ［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f '(x )=(x-1) 122-m n，其中m ，n 都是正整数，且n ≥m .［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.［题2］ 已知实数x ，y 满足等式 369422=+y x ，试求分式5-x y 的最值。

［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.［解一］ (函数方程思想运用)令 k x y =-5⇒y = k (x-5) 与方程369422=+y x 联立消y ，得：03625990)94(2222=-⋅+-+k x k x k根据x 的范围[]3,3-∈x 应用根的分布得不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+--≤-≥-⋅+⋅++=≥-⋅+⋅-+=≥-⋅+-=∆3)49(2903036259990)49(9)3(036259990)49(9)3(0)36259)(49(4)90(22222222222k k k k k f k k k f k k k解得 2121≤≤-k 即 21-≤5-x y ≤21 即所求的最小值为21-，最大值为21. ［插语］ 解出21-≤5-x y ≤21，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.［解二］ (数形结合思想运用)由369422=+y x 得椭圆方程 14922=+y x ， 5-=x y k 看成是过椭圆上的点(x ，y )，(5，0)的直线斜率(图右).联立 ⎩⎨⎧-==+)5(369422x k y y x 得 03625990)94(2222=-⋅+-+k x k x k令0=∆得21±=k ，故 5-x y 的最小值为21-，最大值为21. ［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.●对应训练1.若动点P 的坐标为(x,y)，且lgy ，lg|x|，lg2x y -成等差数列，则动点P 的轨迹应为图中的 ( )2.函数y=1-21x - (-1≤x<0)的反函数是 ( )A.y=-22x x -(0<x≤1)B.y=22x x - (0<x≤1)C. y=-22x x - (-1≤x<0)D. y=22x x - (-1≤x<0)3.设a,b,c ∈R ,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )A.b 2≤acB.b 2>acC.b 2>ac 且a>0D.b 2>ac 且a<0●参考答案1.【思考】利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B 中无x<0的图像，选项D 中无x>0的图像，均应否定；当x=y ∈R +时，lg 2x y -无意义，否定A,选C ． 【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x 时，由lgy+lg 2x y -=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x 或y=2x(x≠0,y>0). 2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B 、D.∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f -1(1)=-1,即x=1时f -1(x)有定义,排除C,∴选A ．3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C 真,则B 也真;若D 真,则B 也真,故C 、D 皆假. 取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式.令f(x)=ax 2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b 2-4ac>0,即b 2>ac,故选B.【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:4b<4a+c, ①2b<-a-c, ②①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.。