第1节简谐运动知识点一机械振动与简谐振动1．机械振动(1)机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，简称振动。

(2)平衡位置：物体能静止的位置(即机械振动的物体所围绕振动的位置)。

2．简谐运动(1)回复力：①概念：当物体偏离平衡位置时受到的指向平衡位置的力。

②效果：总是要把振动物体拉回至平衡位置。

(2)简谐运动：①定义：如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动。

②公式描述：F＝－kx(其中F表示回复力，x表示相对平衡位置的位移，k为比例系数，“－”号表示F与x方向相反)。

[总结拓展]1．弹簧振子应满足的条件(1)质量：弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上。

(2)体积：弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点。

(3)阻力：在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力。

(4)弹性限度：振子从平衡位置拉开的最大位移在弹簧的弹性限度内。

2．简谐运动的位移(1)定义：振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。

(2)位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。

3．简谐运动的回复力(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。

(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。

4．简谐运动的速度(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。

在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。

(2)特点：如图1－1－1所示为一简谐运动的模型，振子在O 点速度最大，在A 、B 两点速度为零。

图1－1－15．简谐运动的加速度(1)计算方法：a ＝－kx m，式中m 表示振子的质量，k 表示比例系数，x 表示振子距平衡位置的位移。

(2)特点：加速度大小随位移呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变。

6、在简谐运动中，位移、加速度（回复力）以及速度的变化关系如下表知识点二 振幅、周期和频率1．振幅(A )(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。

(2)物理意义：表示振动强弱，是标量。

2．全振动简谐运动的物体完成一个完整的振动过程。

3．周期(T )和频率(f ) 内容周期 频率 定义做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间 单位时间内完成全振动的次数 单位秒(s) 赫兹(Hz)物理含义 都是表示振动快慢的物理量联系 T ＝1f[总结拓展]1．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动。

(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。

①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加2π。

2．振幅与振动中几个常见量的关系(1)振幅与位移的关系：振动中的位移是矢量，振幅是标量；在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等；同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(2)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，是随时间不断增加的。

其中常用的定量关系是：①一个周期内的路程为振幅的4倍；②半个周期内的路程为振幅的2倍；③若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，14周期内的路程等于振幅； ④若从一般位置开始计时，14周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅。

(3)振幅与周期(或频率)的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

知识点三 简谐运动的能量1．弹簧振子振动过程中的能量转化如图1－1－2所示，弹簧振子以O 为平衡位置，在BC 间振动，则图1－1－2在从B 到O 过程中，动能增加，弹性势能减小，当运动到O 时，动能最大，弹性势能为零。

2．简谐运动的能量简谐运动的能量是指振动系统的机械能，振动的过程就是动能和势能相互转化的过程，在简谐运动中，振动系统的机械能守恒。

[总结拓展]1．若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力做功，故在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒。

2．简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。

在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，因此简谐运动又称等幅振动，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。

3．在一个振动周期内，动能和势能完成两次周期性变化。

经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小。

振子经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。

【预习自测】12、下列说法正确的是()A．弹簧振子的运动是简谐运动B．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种C．做简谐运动的物体每次经过同一位置时，其速度、位移都相同D．做简谐运动的物体在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向解析：选A弹簧振子是简谐运动中的一个理想模型，其运动是简谐运动，选项A正确；机械运动中最基本、最简单的运动形式是匀速直线运动，选项B错误；根据简谐运动中位移的概念，物体每次经过同一位置时，位移都相同，但在同一位置，既可能向平衡位置运动，也可能远离平衡位置，因此速度方向不确定，选项C错误；同理，在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，选项D错误。

3．关于振幅的概念，下列叙述中正确的是()A．振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量B．振幅是表示振动强弱的物理量C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小D．做简谐运动的物体，其频率是固定的，与振幅无关解析：选BD振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，振幅越大，表明物体振动越强。

周期与振幅无关。

4、物体做简谐运动的过程中，有两点A 、A ′关于平衡位置对称，则物体( )A ．在A 点和A ′点的位移相同B ．在两点处的速度可能相同C ．在两点处的加速度可能相同D ．在两点处的动能一定相同解析：选BD 根据简谐运动的特点可知关于平衡位置的对称点，物体的位移大小相等，但方向相反，选项A 错误；物体的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故选项B 正确；物体的加速度大小相等方向相反，选项C 错误；由于速度大小相等，动能自然相同，选项D 正确。

考点一、对简谐运动的理解[典题例析]1．一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是( )A ．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值B ．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大C ．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同D ．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同[思路点拨](1)振子加速度的方向与速度方向、位移方向有什么关系？提示：加速度的方向始终与位移方向相反，与速度的方向可能相同，也可能相反。

(2)振子由最大位移处向平衡位置运动时，做什么运动？提示：加速度逐渐减小的变加速运动。

解析：如图所示。

设弹簧振子在A 、B 之间振动，O 是它的平衡位置，并设向右为正。

在振子由O 向A 运行过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故A 错。

振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故B 错。

当振子每次通过同一位置时，速度大小一样，方向可能向左也可能向右，但加速度相同，故C 错，D 正确。

答案：D[探规寻律]简谐运动中各物理量动态变化的判断方法：(1)方向：位移x ⇔F ＝－kx 相反回复力F ⇔F ＝ma相同加速度a (由回复力产生)；速度方向为振动物体运动方向，与以上各量无必然联系，“＋”“－”与正方向选取有关。

(2)大小：远离平衡位置⇔位移x ↑⇔回复力F ↑⇔加速度a (由回复力产生)↑⇔速度v↓；反之：靠近平衡位置⇔位移x↓⇔回复力F↓⇔加速度a(由回复力产生的)↓⇔速度v↑。

说明：以上为判断主线，用符号“⇔”表示各物理量间可以进行互判，而不要理解为相互的决定关系。

[及时演练]1、如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是()图1－1－3A．在a点时加速度最大，速度最大B．在O点时速度最大，位移最大C．在b点时位移最大，速度最小D．在b点时加速度最大，速度最大解析：选C O为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B 错误；振子在a、b两位置，振动的位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确。

2．关于简谐运动的频率，下列说法正确的是()A．频率越高，振动质点运动的速度越大B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关解析：选BC简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，假如说物体振动过程中最大速度越大，也不能说明它的频率越大。

振动的越快和运动得越快意义是不同的，故A错误；简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量振子的质量m 和弹簧的劲度系数k决定，故D错误。

3、一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为() A．1∶11∶1B．1∶11∶2C．1∶41∶4 D．1∶21∶2解析：选B弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，则周期之比为1∶1。

考点二 、简谐运动的对称性(1)速度、加速度、位移、动能、势能的对称特点：①振子经过关于平衡位置O 对称(OP ＝OP ′，如图1－1－5所示)的两点P 、P ′时，速度的大小、加速度的大小、位移的大小、动能、势能相等。

图1－1－5②振子在对称点速度的方向可以相同，也可以相反，加速度的方向一定相反。

(2)时间的对称：①振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间；振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等。

②相隔T 2或2n ＋1T 2(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。