光纤光栅的特性1．光纤布喇格光栅的理论模型：假设光纤为理想的纤芯掺锗阶跃型光纤，并且折射率沿轴向均匀分布，包层为纯石英，此种光纤在紫外光的照射下，纤芯的折射率会发生永久性变化，对包层的折射率没有影响。
利用目前的光纤光栅制作技术：如全息相干法，分波面相干法及相位模板复制法等。
生产的光纤光栅大多数为均匀周期正弦型光栅。
纤芯中的折射率分布（如图1）所示。
)(1Z n 为纤芯的折射率，m ax n ∆为光致折射率微扰的最大值，)0(1n 为纤芯原折射率，Λ为折射率变化的周期（即栅距），L 为光栅的区长度。
若忽略光栅横截面上折射率分布的不均匀性，光栅区的折射率分布可表示为：)2cos()0()(max 11Z n n z n Λ∆+=π…………………………………………………（1.1）显而易见，其折射率沿纵向分布，属于非正规光波导中的迅变光波导，在考虑模式耦合的时候，只能使用矢量模耦合方程，其耦合主要发生在基模的正向传输导模与反向传输导模之间。
2．单模光纤的耦合方程由于纤芯折射率非均匀分布,引起了纤芯中传输的本征模式间发生耦合。
在弱导时, 忽 略偏振效应,吸收损耗和折射率非均匀分布引起了模式泄漏,则非均匀波导中的场Φ( x , y ,z ) 满足标量波动方程:0),,(}),,({222202=Φ∂∂++∇z y x zz y x n sk t…………………（2.1）其中：λπ/20=k ，λ是自由空间的光波长。
22221}{1ϕ∂∂+∂Φ∂∂∂=Φ∇Φr r r r r t…………………………………………………(2.2) 由于折射率非均匀分布引起波导中模式耦合只发生在纤芯中,因此非均匀波导中的场 可以表示为均匀波导束缚模式),(y x φ之和:),()}exp()exp()({),()(),,(y x z i a z i z a y x z A z y x l l l l l ll l lφββφ-+-∑=∑=Φ………(2.3))(1z A 则表示与),(1y x φ相联系的全部随z 变化的关系。
本节讨论省去了所有对结论无影响的)exp(t j ω的因子。
其中),(1y x φ满足方程：0}),({22202=-+∇l t aver t y x n k φβ…………………………(2.4)将∑⋅=Φll lAφ代入2.1中，并利用2.4消去含有l t φ2∇的项，并按模式耦合理论的一般方法进行处理,化简时略去高次项,则可以得到一个正向传输模与同一反向传输模间的模式耦合方程:)2exp(2)2exp(21111z i a Ddz da z i a Ddz da ββββ--=-=--……………………………………………（2.5）ηφφββaver aver A A aver n n n ik dA dAn n ik D co2)()(22220222220-=-=⎰⎰∞…………………………(2.6) 其中dAdAA A co⎰⎰∞=22φφη…………………………………………………………（2 .7）是芯层中的功率百分比。
在阶跃折射率剖面光纤中,基模可以用高斯函数近似代替,代入2.7式中得：211V-=η，其中V 为光栅的结构常数。
其中βββ=-=-11 为传播常数。
根据射线理论，光纤中模场的传播常数λπβ/2n =。
在单模光纤中n 近似等于原纤芯折射率)0(1n 。
由于)cos(2222222z n n n n n n n n n n n n n n aver aver averaver averaver aver aver aver θ∆=-=-≈-=-……（2.8） 其中：Λ=πθ2 所以)cos(2)cos(20z n i z n ik D θηλπθηβ∆=∆=……………………………………(2.9) 令耦合系数ηλπn C ∆=………………………………………………………………(2.10) 将2.8,2.9代入2.5和2.6得：)2exp()cos(2)2exp()cos(21111z i z a C i dzda z i z a C i dz da βθβθ⋅-=⋅-=--………………………………………………（2.11）又)(21)2cos()cos(22Λ-Λ+=Λ=πππθi i e e z z 代入2.6，并省略高次项])(2exp[z i βπ+Λ则 ]2exp[]2exp[1111z i a iC dzda z i a iC dzda ββ∆-⋅-=∆⋅-=--………………………………………………………（2.12）其中Λ-=∆πββ设折射率扰动区间)(2,1Z Z ,长度为L ，不难得到边界条件：在1Z 处L ＝0，1)0(1=a ，在2Z 处，0)(1=-L a 。
利用此边界条件，可解出方程2.7)](sinh[)]cosh()[sinh()exp()()]}(cosh[)](sinh[{)]cosh()sinh([)exp()(11L z S SL iS SL z i C Z a L z S iS L z S SL iS SL z i Z a --∆-⋅=-+-∆-∆∆-=-ββββ(2.13)其中：222β∆-=C S因此得到端口处( z = 0) 当22β∆≥C 时入射光的反射率为：)(cosh )(sinh )(sinh )0()0(),(222222211SL S SL SL C a a L R +∆==-βλ…………………………… (2.14)当0=∆β，即Λ=n 2λ时，满足相位匹配条件，2.9可以化为：)(tanh 2max CL R =当22β∆<C 时,入射光的反射率QLk QL C a a L R 22222211cos )(sin )0()0(),(-∆==-βλ…………………………………………（2.15） 其中222C Q -∆=β由R 的表达式可以求得反射谱的半高全宽度(FWHM) 为：2122])()2[(Ln n B FWHMΛ+∆≈∆λλ……………………………………………………（2.16）对弱反射(峰值反射率较低) 光栅一般还须在上式右端乘以系数0. 5 加以修正。
3光线光栅的特性分析a ）：反射率与光栅长度的关系反射率是光纤光栅的一个重要参数2.14和2.15直接描述了反射率R 和光栅长度L 的关系。
下面图3.1,3.2,.3.3分别描述了不同耦合系数（即不同n ∆）时候，R 和L 的关系。
光栅中心波长nm 5.827=λ，V ＝2.405，)11(*2Vn n C -∆=∆=λπηλπ折射率扰动n ∆分别为444410*4,10*3,10*2,10*1----。
图3.1 反射率与光栅长度的关系可见对折射率扰动大的光栅，长度较短也可以达到高的反射率。
图3.2描述n ∆分别为334410*2,10*1,10*8,10*6----时，反射率与光栅长度的关系。
图3.2反射率与光栅长度的关系图3.3描述n ∆分别为555510*4,10*3,10*2,10*1----时，反射率与光栅长度的关系。
图3.3反射率与光栅长度的关系b ）：有效长度c L 与折射率扰动的关系取反射率R ＝0.9时，光栅长度为有效长度c L ，可得有效长度c L 与n ∆的关系。
n ∆从0变化到410*5-，其他参数仍照上面选取，可以得到如下曲线：图 3.4 光栅有效长度和折射率扰动的关系可见在反射率一定的情况下，折射率扰动越大，光栅的长度可以做的越短。
图3.5,3.6描述了n ∆从0变化到310*5-，0变化到510*5- 时候c L 与n ∆的关系。
图 3.5 光栅有效长度和折射率扰动的关系图 3.6 光栅有效长度和折射率扰动的关系c ）：谱线宽度光栅的另一个重要特性是谱线宽度，我们取半峰谱线宽度为光栅线宽λ∆。
图.3.7描述了n ∆变化对λ∆的影响。
折射率扰动大会加宽谱线带宽，光栅的谱线宽度λ∆还与光栅长度L 有关。
图3.8描述了410*1-=∆n 时，线宽λ∆和光栅长度L 的关系。
根据公式2122])()2[(Ln n B FWHMΛ+∆≈∆λλ，我们取中心波长m b 610*5497.1-=λ，n ＝1.462，710*3.5-=Λ，m L 410*6-=，510*5~0-=∆n图3.7 线宽与折射率的关系3.8 线宽与光栅长度的关系d ：）光纤光栅反射光谱特性 根据公式：)(cosh )(sinh )(sinh )0()0(),(222222211SL S SL SL C a a L R +∆==-βλ…………………………… (2.14)当0=∆β，即Λ=n 2λ时，满足相位匹配条件，2.9可以化为：)(tanh 2max CL R =当22β∆<C 时,入射光的反射率QLk QL C a a L R 22222211cos )(sin )0()0(),(-∆==-βλ…………………………………………（2.15） 其中222C Q -∆=β我们假设光纤各项参数为：m b 610*5497.1-=λ，n ＝1.462，710*3.5-=Λ，m L 410*6-=，310*4-=∆n ，V ＝2.405得到3.9光栅反射光谱特性曲线3．9光栅反射光谱特性曲线从上图我门可以得出2个结论： （1）：存在峰值反射率。
当δβ=0 时，有峰值反射率;当δβ≠0 时,反射谱有边带存在,边带的反射率大大降低。
δβ= 0 时有λ= 2n Λ= B λ,这称为光纤光栅的Bragg 条件,其中B λ为Bragg 波长。
即在一阶Bragg 波长2 n Λ=B λ 处,有最大反射率)(tanh 2max CL R =。
（2）： λ=B λ 时,由上式可以看出:耦合系数愈高,峰值反射率愈高,愈接近于1 ,反射谱边带的峰值反射率也相应增大。