一、基本内容
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx ________________； b a 3 、当 a b 时 ，我们规定 a f ( x )dx 与b f ( x )dx 的关 系是______________________； 4 、积分中值公式

b
a
f ( x )dx f ( )(b a ) , (a b) 的几何意义是
性质4
a 1 dx a
b a
b
b
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0 . (a b)
例 1 比较积分值0 e dx 和0 xdx 的大小.
x
2
2
解
令 f ( x ) e x x , x [2, 0]
f ( x )dx 0 ； a f ( x ) g( x ) 3、若在a , b 上 ,且 b b a f ( x )dx a g( x )dx ，则在a , b上f ( x ) g( x ) .


b
练习题答案
一、1、 f ( x )dx f ( x )dx ；
a b
b b
b
a
性质6
设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2 估计积分

0
1 dx 的值. 3 3 sin x
解
1 f ( x) , 3 3 sin x
_______________；
5 、下列两积分的大小关系是： （1） x dx _____ x 3 dx
2 1 1
（2）1 ln xdx _______1 (ln x ) 2 dx （3） e dx _______ ( x 1)dx
x 0 0 1 1
0 2
0
2
二、证明： kf ( x )dx k f ( x )dx （ k 是常数 ）.
a c b
2、 m ( b a )
b

c b
a
f ( x )dx M ( b a ) , a b ；
a
3、 a f ( x )dx b f ( x )dx ； 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于 f ( ) 与 b a 为邻边的矩形面积； 5、(1)>； (2)>； (3)>. 3 2 三、1、 1 x arctan xdx ； 9 3 3 1 1 dx 3 arcsin . 2、 0 2 3 2 5 4 2x x x
3 3 使 x t sin f ( t )dt sin f ( )( x 2 x ), t x2 3 3 lim x t sin f ( t )dt 2 lim sin f ( ) x t
x2
2 lim 3 f ( ) 6.
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
积分中值公式的几何解释：
y
f ( )
在区间[a , b] 上至少存在一 个点 ，使得以区间[a , b] 为
a a
b
b
三、估计下列积分 3 xarc cot xdx 的值 . 四、证明不等式：1
3 2
3
x 1dx 2 .
六、用定积分定义和性质求极限: 1 1 1 1、lim ( ... ) ; n n 1 n2 2n 2.、lim 4 sin n xdx . n 0 七、设 f ( x ) 及 g ( x )在 a , b 上连续，证明： b f ( x ) 0 1、若 在 a , b 上 , 且 a f ( x )dx 0 ， 则 在 a , b上 f ( x ) 0 ； 2、若在a , b 上， f ( x ) 0 ,且 f ( x ) 不恒等于 0 ，则
b
(a b)
性质5的推论： （ 2） 证
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx,
即 f ( x )dx f ( x )dx .
底边， 以曲线 y f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( )
o
a
b x 的一个矩形的面积。
例 4 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x x

x2
3 t sin f ( t )dt . t
解 由积分中值定理知有 [ x , x 2],
b
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx n lim [ f ( i ) g ( i )]xi 0
lim f ( i )xi lim g( i )xi
0 i 1
b
i 1 n n
0 i 1
a f ( x )dx a g( x )dx.
f ( x ) 0,

0
x ( e 2 x )dx 0,
0

2 e
0
x
dx 2xdx, e dx 0 xdx.
x
2
于是
0
2
性质5的推论：
（1）如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x ) ，
则 a f ( x )dx
b
a g( x )dx .
x [0, ],
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
例 3 估计积分
2 4
sin x dx 的值. x
sin x 解 f ( x) , x [ , ] 4 2 x x cos x sin x cos x( x tan x ) x , f ( x ) 0 , 2 2 4 2 x x

二、小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
练习题
一、填空题： c 分成a , c 与c , b ，则 1 、如果积分区间 a , b 被点 2 、如 果 f ( x )在a , b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 a M 与 m ，则 f ( x )dx 有如下估计式：_________ 定积分的可加性为 f ( x )dx __________；
f ( x ) 在[ , ] 上单调下降, 4 2
故 x 为极大点，x 为极小点, 4 2
2 2 M f( ) , 4
2 m f( ) , 2
ba , 2 4 4
2 sin x 2 2 2 dx , 4 4 x 4 1 sin x 2 2 dx . 2 4 x 2
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
b
性质2
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b
b
k ( 为常数).
性质3
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx .
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
（定积分对于积分区间具有可加性）