1.曲边梯形的面积
设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间
兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12…
在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积
求和取极限：则面积取极限
J=1
其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成
n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。
任取• _ _
做
求和取极限：则路程一取极限
将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间
上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ，
记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的
点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限
为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即
定义设函数」•、在L•二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。
■叫积分和式。
说明：
1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间
上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。
（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所
3.
在
-
上一，••——时，j ■表示曲线」、两条直线=<■ > - =■:与T轴所围成的曲边梯形的面积；
在’1上「I时，V表示曲线，一―、两条直线、
■-L ［与工'轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在k轴的下方）；
例1利用定积分的几何意义写出下列积分值
(1)1
2（三角形面积）
（2
妇評（半圆面积）S7-2
yi
y|
设-■■■可积
性质1 J[[/⑴土畧（胡必=[f如± [畑賈
性质2 J[灯■（力缶=斤£/（对乂
性质3（定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数,有
性质5如果在区间上]…「，则J'"
推论
性质6 (定积分的估值) 设M及m分别是函数在区间一上的最大值及最小值，则
~a) i［/(x)必~ a)
性质7 (定积分中值定理)
如果函数一、八在区间-上连续，则在"圖上至少有一点：，
使「—■ C •.成立
17-7
例2比较下面两个积分的大小
在(0, 1 )内，-'' '一"'-■单调增
当兀［0」］时，有=6^ 2/(0) = 0，即尹m
2
-]
的值
&、
令1 ,得‘‘
由性质5,
例3估计积分J 1
解 只需求出’在区间-上的最大值、最小值即可。
设
7(0)-L/®-
所以，在区间- 1■■上
枳分上限询超哉乱其导銘
由性质6,
\
' 1；/ 一定存在,
设丿「丿在区间-，!
■ 上连续，‘ 〔「- ，则定积分
当T 在-「一上变动时，它构成了一个 T 的函数，称为,的变上限积分函数,
记作,'-即
S £工《2?)
yi
定理如果函数在区间- - 上连续，则积分上限的函数
-上具有导数，且导数是-，即
di =/(x)
说明:
1.由原函数的定义知，T -是连续函数「■的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.当积分上限的函数是复合函数时，有
更一般的有订「「十「
=-f sm idl①〔兀)=i( f 血站=-
，则:
例1
严’』* +如兀’3x 2 - 0
则丿-=川：丄丄.
⑶ 中(开)=『血曲=g(x a ) = = JT 3) g(w) = f 血皿
禮二生，色=啦0(2工)二2玄鈕H 则哎=sin x a -2r dx du dx dr
① E =泄加丫 斗【I 汕=伽 兀')’2耳- (si±i 2忑〕■ (2^); = Szsiii F - 2 sin
①㈤=
(5)设
由求导法则
所确定的函数，求
解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
空
s inf »
------- dr 1 + cos t
(6)
sin I , IS"
xsin 7
」=0 (因定积分的结果为一常数，故导数为零)
①㈤=f 血滅=[sin tdt +
sin tdt ,
；
，则:
此题中疋为函数的自变量,
f 为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式
(7)
例5
+顿
求-
例2 设
f G '迪 lim 血斗一 例4
求 ■'..
lim
虑严
=lirn gm ° ' =-^}
"r 3 5 2x 2
定理（牛顿一一莱公式）如果函数 '…是连续函数」川在区间〔亠二
上的一个原函数，则
f /⑵乂 73） - £⑷誉样俐:
例3 设 /（X ）为连续函数，（1）若
lim ----- f f^dt (2)亠”
*xf
此公式表明：一个连续函数在区间 b …-上的定积分等于它的任一个原函数在该区间 上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
解这是
11
型不定式，用罗必塔法则
義窃尼塗仝扎
解原式」订- -■' 一卜
解利用定积分的可加性分段积分，
-天® -1)「
|z(2x-l)| = *
x(2x- 1),
『Jl —sin
解原式
f ■ arcig^/3 -a 吃临(_1)
解原式
/«"
0＜八1
I
解被积函数是分段函数，分段点
1
】在积分区间
-- 内,
+3T- 251D SC05 点
T <
J*（GG»S 2； - SUl 不）必 + J2（sm C5S 忑）dx
=[sin cos x Q -[cos x+ sin
注意:
=忆（刈是分段函数。