平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB或||a。
3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则||1e。
4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。
8.三角形法则：
）
ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB
（指向被减数）

9.平行四边形法则：
以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。

10.共线定理：//abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab

13.数量积与夹角公式：||||cosabab； cos||||abab
14.平行与垂直：1221//ababxyxy；121200ababxxyy
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
)
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD是平行四边形的条件是

ABCD
。
（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）若a与b共线， b与c共线，则a与c共线。 （7）若mamb，则ab。
（8）若mana，则mn。 （9）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。
（10）若||||abab，则//ab。 （11）若||||abab，则ab。
题型2.向量的加减运算
1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则||ab 。

2.化简()()ABMBBOBCOM 。
3.已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为 、 。
@
4.已知ACABAD为与的和向量，且,ACaBDb，则AB ，AD 。

5.已知点C在线段AB上，且35ACAB,则AC BC，AB BC。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：2(253)3(232)abcabc

2.已知(1,4),(3,8)ab，则132ab 。
题型4根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。

2.在平行四边形ABCD中，已知,ACaBDb，求ABAD和。
、
题型5.向量的坐标运算

1.已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是 。

2.已知(3,5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是 。
3.若物体受三个力1(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F,则合力的坐标为 。
4.已知(3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。

5.已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等，求,xy的值。
6.已知(2,3)AB，(,)BCmn，(1,4)CD，则DA 。
7.已知O是坐标原点，(2,1),(4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。

|
题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知12,ee是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.1212eeee和 B.1221326eeee和4 C.122133eeee和 D.221eee和
2.已知(3,4)a，能与a构成基底的是（ ）
A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3
题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||2OA，150xOA，求OA的坐标。

（
2.已知O是原点，点A在第一象限，||43OA，60xOA，求OA的坐标。

题型8.求数量积
1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab，

（3）1()2abb，（4）(2)(3)abab。
2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（2）ab，（3）(2)aab，
"
（4）(2)(3)abab。

题型9.求向量的夹角
1.已知||8,||3ab，12ab，求a与b的夹角。

2.已知(3,1),(23,2)ab，求a与b的夹角。
@
3.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。

题型10.求向量的模
1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）||ab，（2）|23|ab。

2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（5）||ab，（6）1||2ab。
[
3.已知||1||2ab，，|32|3ab，求|3|ab。
题型11.求单位向量 【与a平行的单位向量：||aea】
1.与(12,5)a平行的单位向量是 2.与1(1,)2m平行的单位向量是 。
题型12.向量的平行与垂直
1.已知(1,2)a，(3,2)b，（1）k为何值时，向量kab与3ab垂直（2）k为何值时向

量kab与3ab平行

、
2.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：()abc。

题型13.三点共线问题
1.已知(0,2)A，(2,2)B，(3,4)C，求证：,,ABC三点共线。

2.设2(5),28,3()2ABabBCabCDab，求证：ABD、、三点共线。
{
3.已知2,56,72ABabBCabCDab，则一定共线的三点是 。
4.已知(1,3)A，(8,1)B，若点(21,2)Caa在直线AB上，求a的值。

5.已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，(1,2)B，(1,1)C，是否存在常数t，使
OAtOBOC
成立
题型14.判断多边形的形状
…
1.若3ABe，5CDe，且||||ADBC,则四边形的形状是 。

2.已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0,2)D，证明四边形ABCD是梯形。

3.已知(2,1)A，(6,3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OAOBOC,求证：ABC是等腰直角三角形。
、
题型15.平面向量的综合应用
1.已知(1,0)a，(2,1)b，当k为何值时，向量kab与3ab平行

2.已知(3,5)a，且ab，||2b，求b的坐标。

3.已知ab与同向，(1,2)b，则10ab，求a的坐标。
4.已知(1,2)a，(3,1)b，(5,4)c，则c a b。
>

5.已知(,3)am，(2,1)b，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；
（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。
6.已知(6,2)a，(3,)bm，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角（2）a与b的夹角
为锐角

7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为(1,2)A，(3,4)B，(2,1)D，且//ABDC，2ABCD，
求点C的坐标。

8.已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，(,0)Cc，
（1）若0ABAC，求c的值；（2）若5c，求sinA的值。