2011年山西大学附中高二年级五月月考数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，将正确答案的序号填入答题纸的表格中） 1.已知复数(1)z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．1C ．10或D ．1- 2.若直线⊆m 平面α，则条件甲：直线α//l 是条件乙：m l //的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设}11|{<<-=x x A ，}0|{>-=a x x B ，若B A ⊆，则a 的取值范围是 A ．]1(--∞， B ．)1(--∞， C ．),1[+∞ D ．)1(∞+，4. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）5.方程221cos 2010sin 2010x y -=︒︒所表示的曲线为A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线6．定积分1)x dx ⎰等于A ．24π- B ．12π- C ．14π- D ．12π- 7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中n m ,均大于0，则12m n+的最小值为A ．2B ．4C ．8D ．168.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数，现从1，2，3，4，5，6这六个数中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A ．120个 B ．80个 C ．40个 D ．20个9. 如图3所示的程序框图，其输出结果是正视图侧视图A. 341B. 1364C. 1365D. 136610. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f ，若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A. (2,1)-B. ),2()1,(+∞--∞C. (1,2)-D. ),1()2,(+∞--∞11. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为A ． 2B ． 3C ．233D ．2 212．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(0>a )，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围是A. 1(0,]2 B. 1[,3]2C. (0,3] D . [3,)+∞二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置．） 13.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是14.直线l 过点（—4，0）且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于B A ,两点，如果8||=AB ，那么直线l 的方程为15．在ABC Rt ∆中，若a BC b AC C ===∠,,900，则ABC ∆外接圆半径222b a r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = ．16.已知点(1,1)A -，O 是坐标原点，点(,)M x y 的坐标满足2202600x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩，则OA OM OM⋅的取值范围是________.2011年山西大学附中高二五月月考数学答题纸（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.设函数()214f x x x =+--．（I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．18.已知向量2(3sin,1),(cos ,cos )444x x xm n ==，()f x m n =⋅． （I ）若()1f x =,求x 的值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．19.已知等比数列{}n a 的公比1q >， 是1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（Ⅰ）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （Ⅱ）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（Ⅲ）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．CBA 1C 1B 1A21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,1)，且离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 为椭圆C 的左右顶点，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别交直线:l x =,E F 两点.证明：以线段EF 为直径的圆恒过x 轴上的定点.22.设函数()ln (0)f x ax x a =⋅>．（Ⅰ）当2a =时，判断函数()()4(1)g x f x x =--的零点的个数，并且说明理由； （Ⅱ）若对所有1x ≥，都有2()1f x x ≤-，求正数a 的取值范围．2011年山西大学附中高二年级五月月考数学试题（理科）一． 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二．填空题（每小题4分，共20分）13. ),2[+∞ 14. 020125=++y x 或04=+x 15.2222c b a ++ 16.]0,1(-三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-． 18.解：（I ）()f x m n =⋅=2cos cos 444x x x+=11sin cos 22222x x ++ =1sin()262x π++∵()1f x = ∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12（II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=∴2sin cos sin()A B B C =+- ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π=∴203A π<<∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+<∴131sin()2622A π<++< ∴()f A =1sin()262A π++3(1,)2∈19.解：（Ⅰ）因为是1a 和4a 的一个等比中项， 所以21432a a ⋅==．由题意可得232332,12.a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩因为1q >，所以32a a >．解得234,8.a a =⎧⎨=⎩ 所以322a q a ==．故数列{}n a 的通项公式2n n a =． （Ⅱ）由于2log n n b a =（n ∈*N ），所以2n n n a b n =⋅．231122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅． ①23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅． ②①-②得 231122222n n n S n +-=⋅++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-．所以 11222n n n S n ++=-+⋅．20. 证明：（Ⅰ）∵1A B ⊥面ABC ∴1A B AC ⊥,又AB AC ⊥，1ABA B B =∴AC ⊥面1AB B ， ∵AC ⊂面1A AC ， ∴平面1A AC ⊥平面1AB B ；（Ⅱ）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，，1(2,2,2)C()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，C 1z1111cos 28AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3．（Ⅲ）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()132P ，，． 设平面PAB 的法向量为1n (),,x y z =，则1100n AP n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩,由(1,3,2)(0,2,0)AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得32020x y z y ++=⎧⎨=⎩令1z =，则1n ()201=-，，而平面1ABA 的法向量2n =(1,0,0)，则121212cos ,55n n n n n n ==-=-由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --21.解：（1）由题意可知， 1b =， 而c a = 且222a b c =+. 解得2a =， 所以，椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题可得(2,0),(2,0)A B -.设00(,)P x y ， 直线AP的方程为00(2)2y y x x =++，令x=002)2y y x =+，即002)2y E x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭； 直线BP的方程为00(2)2y y x x =--，令x=002)2y y x =-，即002)2y F x ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭； 证法一：设点(,0)M m 在以线段EF 为直径的圆上，则0ME MF ⋅=，即22202)(04y m x -+=-， 2224(4y m x ∴-=-， 而220014x y +=，即220044y x =-，2 (1m∴-=，1m∴=或1m=-.所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点1,0)或1,0).证法二：以线段EF为直径的圆为200002)2)(022y yx y yx x⎡⎤⎡⎤-+-⋅-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦令0y=，得22022)(04yxx-+=-，∴22024(4yxx-=-，而2214xy+=，即220044y x=-，∴2(1x-=，1x∴=或1x=. 所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点1,0)或1,0). 解法3：令(0,1)P，则:121APx yl+=-，令x=E+同理，E. ∴以EF为直径的圆为22((1)2x y-+-=当0y=时，1x=+或1x=-∴圆过1,0),1,0)A B令00(,)P x y，直线AP的方程为0(2)2yy xx=++，令x=2)2yyx=+，即02)2yEx⎛⎫⎪⎪+⎝⎭；直线BP的方程为0(2)2yy xx=--，令x=2)2yyx=-，即02)2yFx⎛⎫⎪⎪-⎝⎭；∵22414AE AFyk kx⋅⋅==--∴A在以EF为直径的圆上.同理，可知B也在EF为直径的圆上.∴定点为1,0),1,0)A B22．（Ⅰ）当2a=时，()()4(1)2ln44g x f x x x x x=--=-+的定义域是(0,)+∞求导，得0,0()2(ln1)0,0,x eg x x x ex e<<<⎧⎪'=-==⎨⎪>>⎩用心 爱心 专心 11 所以，()g x 在(0,)e 上为减函数，在()e +，∞上为增函数，min ()()2(2)0g x g e e ==-<.又(1)0,g =根据()g x 在(0,)e 上为减函数，则()g x 在(0,)e 上恰有一个零点；又2()40g e =>，则2()()0g e g e <，所以()g x 在2(,)e e 上恰有一个零点， 再根据()g x 在()e +，∞上为增函数，()g x 在()e +，∞上恰有一个零点.综上所述，函数()()4(1)g x f x x =--的零点的个数为2.（Ⅱ）令22()()(1)ln 1(0,1)F x f x x ax x x a x =--=-+>≥，求导，再令 ()()(ln 1)2G x F x a x x '==+-，则()2a G x x '=- （ⅰ）若02a <≤，当1x ≥时，()20a G x x'=-≤，故()G x 在)+[1，∞上为减函数， 所以当1x ≥时，()(1)20G x G a ≤=-≤，即()0F x '≤，则()F x 在)+[1，∞上为减函数，所以当1x ≥时，()(1)0F x F ≤=,即2()1f x x ≤-成立； （ⅱ）若2a >， 方程()0G x '=的解为12a x =>， 则当12a x ≤≤时，()20a G x x '=-≥，故()G x 在[1,]2a 上为增函数， 所以12a x ≤≤时，()(1)20G x G a ≥=->，即()0F x '>，则()F x 在[1,]2a 上为增函数， 所以当12a x <<时，()(1)0F x F >=, 即2()1f x x >-成立，此时不合题意. 综上，满足条件的正数a 的取值范围是(0,2]．。