t d 2l e l 2 e e e t dl l 2 dt dt
对于同一个构件，l为常数,有： ar=0 ak=0
an
θ
L
L
2.平面机构的运动分析
已知图示四杆机构的各构件尺寸和ω 1 , 求θ2、θ3、ω2、ω3 、 α2、α3 。 y C 2 B θ 2 3 1 ω1 θ 3 θ 1 A 4 D x
1 1 1
cosθ
2
- sinθ
sinθ
2
)―2 l1 l2cosθ
1
1
(2)速度分析 将方程（5）对时间求导得： L3 ＝ L1+ L2 －L4 l3θ
3
(5) (9)
e3 t = l 1 θ
1
e1 t + l 2 θ
2
e2 t
用e2点积(9)式，可得： l3θ
3
e3 t · 2 = l 1 θ e
- l2 ω 2 cosθ - l 2 ω 2 sinθ
2
3
3
α α
2 3
=
3
2
l3 ω 3 cosθ l3 ω 3 sinθ
3
ω 2 +ω l1 ω 1 sinθ 1 l1 ω 3 cosθ ω3
1 1
(18)
[A]{α } = [A] {ω } + ω 1[B]
将（17）式对时间求导得以下矩阵方程：
3
(11)
e3 t = l 1 θ
1
e1 t + l2 θ
2
e2 t
(9)
将（9）式对时间求导得：
l3 θ
3
2
e3 n + l 3 θ
3
e3 t = l 1 θ
1
2
e1 n + l 2 θ
2
2
e2 n + l 2 θ
2
e2 t
(12)
l3θ
e3 n + l 3 θ 3 e3 t = l 1 θ 1 2 e1 n + l 2 θ 2 2 e2 n + l 2 θ 2 e 2 t (12) 3 acn act aB aCBn aCBt ＝0
2 2
2 2
l1 cosθ 1 a cosθ -l1 sinθ 1 -a sinθ
+ b cos (90º +θ + b sin (90º +θ
2 2
) ω 22 ) ω 32
(19)
加速度合成：
ap = a2px + a2py α
pa=tg -1(a py /
apx )
速度方程的一般表达式：
[A]{ω } =ω 1{B}
(1)位置分析 将各构件用杆矢量表示，则有： L1+ L2 ＝ L3+ L4 大小：√ √ √ √ 方向 √ θ 2? θ 3? √
y
L1+ L2 ＝ L3+ L4 B 2 θ2 C 3 θ3 4 D x
ω1
L2 ＝ L3+ L4 －L1 (1) A
1 θ1
化成直角坐标形式有： L l ( i cos j sin )
3.加速度分析 l2 sinθ
2 2
ω 2 -l3 sinθ
3
ω 3 =ω 1 l1 sinθ
3
1 1
l2 cosθ
ω 2 - l3 cosθ
ω 3 =-ω 1 l1 cosθ
(15)
将（15）式对时间求导得以下矩阵方程：
- l2 sinθ 2 l3 sinθ l2 cosθ 2 - l3 cosθ
- l3 sinθ
3
=- l1 sinθ
(13)
1
将（13）式对时间求导得： l2 sinθ l2 cosθ
2 2
ω 2 - l3 sinθ ω 2 - l3 cosθ
3 3
ω 3 =ω 1 l1 sinθ
1 1
ω 3 =-ω 1 l1 cosθ
(15)
写成矩阵形式： - l2 sinθ
l2 cosθ
2
- l3 cosθ
ω3
=ω 1
l1 sinθ
1 1
-l1 cosθ
(16)
从动件的角速度列阵{ω} 原动件的角速度ω1 从动件的位置参数矩阵[A] 原动件的位置参数矩阵[B]
xp = l1 cosθ yp = l1 sinθ
1 1
+a cosθ +a sinθ
2 2
+ b cos (90º +θ + b sin (90º +θ
L l le l ( i cos j sin )
求二阶导数有：
ak at ar
dl et] d [e l dt an L L" 2 θ dt dt t 2 d l de dl e t dl l e t l d e e dt dt dt dt dt
用解析法作机构的运动分析
图解法的缺点： 1.分析结果精度低； 2.作图繁琐、费时，不适用于一个运动周期的分析； 3.不便于把机构分析与综合问题联系起来。 随着计算机应用的普及，解析法得到了广泛的应用。
方法：
复数矢量法、矩阵法、杆组法等。 思路：
由机构的几何条件，建立机构的位置方程，然后就位置方程 对时间求一阶导数，得速度方程，求二阶导数得到机构的加速度 方程。
其中：[A]－机构从动件的位置参数矩阵； {ω}－机构从动件的角速度矩阵； {B}－机构原动件的位置参数矩阵； ω1 －机构原动件的角速度。 加速度方程的一般表达式：
一、矢量方程解析法 1.矢量分析基本知识 任意平面矢量的可表示为： L l
其中：l－矢量的模，θ －幅角。： e－ 矢量L的单位矢量 et－ 切向单位矢量 i－ x轴的单位矢量 en－法向单位矢量
j y
et
en l L e j θ i
j－y轴的单位矢量
i x
e e i cos j sin
2
上式中只有两个未知量 用e2点积(12)式，可得： l3ω 32 e3n ·2 + l3α e
3
e3t ·2 = l1ω 12 e1n ·2 + l2ω 22 e2n ·2 e e e
-ω32 l3 cos (θ3 -θ2 ) -α3 l3 sin (θ3 -θ2 ) = - ω12 l1 cos (θ1 -θ2 ) - ω22 l2 α3 =ω12 l1 cos (θ1 - θ2 ) + ω22 l2 -ω32 l3 cos (θ3 - θ2 ) / l3 sin (θ3 －θ2 ) 用e3点积(12)式，可得： α2 =ω12 l1 cos (θ1 - θ3 ) + ω32 l3 -ω22 l2 cos (θ2 - θ3 ) / l2 sin (θ2 －θ3 )
求一阶导数： d L d ( le ) de dl l e L' dt dt dt dt
de d dl e t e dl l l e dt d dt dt
vt θ
vr
L
L
离心(相对)速度v r
切向速度v t
对于同一个构件，l为常数,有： vr=0
e ·et = 0
e ·en =-1
j e ej θ ei i
j y
en i x
e1 ·e2 =cos (θ2 -θ1 )
e1·e2 = -cos (θ2 -θ1 )
e1·e2 = - sin (θ2 -θ1 )
t
n
e2 e2 t θ2
θ1
e1 i x
e2 n
L l le l ( i cos j sin )
xp -l1 sinθ vpx vpy = yp = l1 cosθ xp -l1 sinθ apx apy = yp = l1 cosθ 1
-a sinθ
2
- b sin (90º +θ
2
)
1
a cosθ
2
+ b cos (90º +θ
2
)
) )
ω1 ω2 0
α
2
(17)
1 1
-a sinθ 2－b sin (90º +θ a cosθ 2＋b cos (90º +θ
1
C
3
θ
3
4
D x
1.位置分析
y B ω1 A 1 θ
P b 2 a θ 2
1
C 3
θ
4
3
D x
L1+ L2 ＝ L3+ L4 ，或 L2－L3＝L4－ L1 改写成直角坐标的形式： l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3 = l4 -l1 cosθ l2 sinθ
2
1
- l3 sinθ
3
=- l1 sinθ
(13)
1
连杆上P点的坐标为： xp = l1 cosθ yp = l1 sinθ
1 1
+a cosθ +a sinθ
2 2
+ b cos (90º +θ + b sin (90º +θ
2
2
) (14)
)
2.速度分析 l2 cosθ
2
- l3 cosθ
3
= l4 -l1 cosθ
1
l2 sinθ
2
二、矩阵法 思路：在直角坐标系中建立机构的位置方程，然后将位置 方程对时间求一阶导数，得到机构的速度方程。求二阶导数便 得到机构加速度方程。