第三章 拱桥计算第一节 拱轴方程的建立教学内容：1、实腹式悬链线拱拱轴方程的建立2、空腹式悬链线拱拱轴方程的建立3、悬链线无铰拱的弹性中心重点：空腹式悬链线拱拱轴方程的建立、悬链线无铰拱的弹性中心 难点：1、逐次逼近法 2、五点重合法 3、弹性中心（一）实腹式悬链线拱拱轴方程的建立1、拱轴线方程的得出：实腹式悬链线拱采用恒载压力线作为拱轴线在恒载作用下，拱顶截面：0=d M ，由于对称性，剪力0=d Q ，仅有恒载推力g H 。

对拱脚截面取矩，则有：fMH jg ∑=式中 ∑jM——半拱恒载对拱脚截面的弯矩；g H ——拱的恒载水平推力（不考虑弹性压缩）；f ——拱的计算矢高。

对任意截面取矩，可得：gxH M y =1 式中 x M ——任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值；1y ——以拱顶为坐标原点，拱轴上任意点的纵坐标。

将上式两边对x 求二阶导数得：g x xg H g dx M d ．H dxy d ==222121 解此方程，则得拱轴线方程为：)1(11--=ξchk m fy 2 拱轴系数m ： 拱轴系数：为拱脚与拱顶的恒载集度比拱脚截面：ξ=1，y 1=f ， )1m m ln(m ch k 21-+==- 当1=m 时，均布荷载。

压力线方程为：21ξf y = (二次抛物线) 当拱的矢跨比确定后，拱轴线各点的纵坐标（拱轴形状）将取决于m 。

（表3-3-1）供设计时根据拱轴系数确定拱轴坐标。

3．实腹式悬链线拱拱轴系数m 的确定方法：dj g g m =, d h g d d γγ+=1， γϕγγjd j dh h g cos 21++=式中 d h ——拱顶填料厚度，一般为0.30～0.50m ；d ——拱圈厚度；γ——拱圈材料容重1γ——拱顶填料及路面的平均容重； 2γ——拱腹填料平均容重j ϕ——拱脚处拱轴线的水平倾角。

jd d f h ϕcos 22-+= 由于j ϕ为未知，故不能直接算出m 值，需用逐次逼近法确定；逐次逼近法：（1）根据跨径和矢高假定m 值，（2）由表3-3-4查得拱脚处的ϕtg ，求得ϕcos 值； （3）代入求得j g 后，再连同d g 一起代入算得m 值。

（4）与假定的m 值比较，如相符，则假定的m 值即为真实值；如两者不符，则以算得的m 值作为假定值，重新进行计算，直至两者接近为止。

当拱的跨径和矢高确定之后，悬链线的形状取决于拱轴系数m ，其线型特征可用4/l 点纵坐标4/1y 的大小表示。

)12k ch (1m 1f y 4l --=∵21212+=+=m chk kch∴2)1m (211m 121m fy 4l ++=--+=拱跨4L点纵坐标与m的关系j g 、d g 、m 与拱轴线坐标的关系由上式可见，4l y 随m 的增大而减小，随m 的减小而增大。

当m 增大时，拱轴线抬高；反之当m 减小时，拱轴线降低。

(二)空腹式悬链线拱1、特点：集中力的存在，恒载压力线是一条在集中力下有转折的曲线，不是悬链线，不是光滑的曲线。

2．M 值求解思路：五点重合法：要求拱轴线在全拱有五点（拱顶、两点4/l 和两拱脚）与其相应三铰拱恒载压力线重合，根据上述五点弯矩为零的条件确定m 值。

条件：（1）拱顶弯矩为零（2）恒载对称拱顶：弯矩0=d M ，剪力0=d Q 。

由∑=0A M ，得 fM H jg∑=由∑=0B M ，得 ∑=-04/4/l l g M y H 和4/4/l l g y MH ∑=将H g 代入上式，可得：∑∑=j4/l 4/l MM fy式中∑jΜ——半拱恒载对拱脚截面的弯矩；∑4/l M——拱顶至拱跨4/l 点区域的恒载对4/l 截面的弯矩。

4/l M 、j M 可由表3-3-3查得。

1)2(2124/--=l y f m 求得m 值。

3．M 值求解方法：（逐次逼近法）（1）先假定一个m 值，定出拱轴线，作图布置拱上建筑， （2）计算拱圈和拱上建筑的恒载对4/l 和拱脚截面的力矩∑4/l M和∑jM，根据式(3-3-18)求出f y l /4/（3）利用1)2(2124/--=l y fm 算出m 值，如与假定的m 值不符，则应以求得的m 值作为新假定值，重新计算，直至两者接近为止。

4．偏离影响的计算：（1）除五点重合，其它截面都有不同程度的偏离。

计算证明，从拱顶到4/l 点，一般压力线在拱轴线之上； 而从4/l 点到拱脚，压力线则大多在拱轴线之下拱轴线与相应三铰拱恒载压力线的偏离类似于一个正弦波。

（2）偏离附加内力计算对于静定三铰拱： y H M p p ∆⋅=；对于无铰拱：以y H M p p ∆⋅=作为荷载，算出无铰拱的偏离弯矩值。

由结构力学知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆-=-=-=∆-=∆Ids ds I y H Ids dsI M EIds M ds EI M M X s s gs psspsp2111111δ⎰⎰⎰⎰∆==∆-=∆Ids y ds I y y H EIds M dsEI M M X s s g spsp22222222δ 1X ∆数值较小。

若Iydss∆⎰=0，则1X ∆=0。

2X ∆恒为正值（压力）。

任意截面之偏离弯矩：21X X M ∆-∆=∆·p M y +式中 y ——以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴纵坐标。

对于拱顶、拱脚截面，0=p M ，偏离弯矩为：⎭⎬⎫>-∆+∆=∆<⋅∆-∆=∆0)(0y 21s 21s j d y f X X M X X M式中 s y ——弹性中心至拱顶之距离.（3）结论：空腹式无铰拱桥，采用“五点重合法”确定的拱轴线，而与无铰拱的恒载压力线实际上并不存在五点重合的关系。

由于拱轴线与恒载压力线有偏离，在拱顶、拱脚都产生了偏离弯矩。

拱顶的偏离弯矩d M ∆为负，而拱脚的偏离弯矩j M ∆为正，恰好与这两截面控制弯矩的符号相反。

偏离弯矩对拱顶、拱脚都是有利的。

因而，空腹式无铰拱的拱轴线，用悬链线比用恒载压力线更加合理。

(三)悬链线无铰拱的弹性中心 利用拱的弹性中心的概念目的：是将求解三个赘余力的联立方程的问题解耦，从而变为解三个独立的一元一次方程的问题。

在荷载作用下，以半拱悬臂为基本结构，在拱顶处会产生三个赘余力X 1、X 2、X 3，典型方程为：⎪⎭⎪⎬⎫=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111p p p X X X X X X X X X δδδδδδδδδ赘余力中弯矩1X 和轴力2X 是正对称的，剪力3X 是反对称的，故知副系数：⎭⎬⎫====0032233113δδδδ如果能设法使2112δδ=也等于零，则典型方程中的全部副系数都为零，解三个独立的一元一次方程的问题，从而简化计算。

我们讨论的是对称拱，弹性中心在对称轴上。

以悬臂曲梁为基本结构，由计算得知，作用于弹性中心的三个赘余力以单位力分别作用时引起的内力为⎪⎭⎪⎬⎫ϕ=ϕ==ϕ=ϕ-=====sin N ,cos Q ,x M cos N ,sin Q ,y M 0N ,0Q ,1M 333222111（x 轴向左为正，y 轴向下为正，弯矩以使拱下缘受拉为正，剪力以绕隔离体逆时针方向转动为正，轴力以压力为正，上式中ϕ在右半拱取正，左半拱取负），因此：00212121212112++⋅=⋅+⋅+⋅==⎰⎰⎰⎰EIds M M GA ds Q Q k EA ds N N EI ds M M s s s sδδ=EIdsy EI ds y EI ds y y EI ds yss s s s s⎰⎰⎰⎰-=-=11)( 令02112==δδ，便可得到弹性中心距拱顶之距离为：EIds EIdsy y s s s ⎰⎰=1式中 ζϕϕξd l dx ds chk m fy cos 12cos )1(11⋅==--=其中 ξηϕϕk sh tg 2221111cos +=+=则 ξξηd k sh ds 22121+=以1y 及ds 代入式（3-3-28），并注意到等截面拱中I 为常数，则：f d k sh d k sh chk m fds dsy y s ss⋅=++-⋅-==⎰⎰⎰⎰1222211011)1(011αξξηξξηξ （由表3-3-5查得）第三章 拱桥计算教学内容：1、不考虑弹性压缩的恒载内力2、弹性压缩引起的内力3、结构总内力重点：1、不考虑弹性压缩的恒载内力 2、弹性压缩引起的内力 难点：1、弹性压缩引起的内力第二节 恒载作用下拱的内力计算一、计算内容：不考虑弹性压缩影响的内力+仅因弹性压缩引起的内力=恒载作用下的总内力。

（一）、不考虑弹性压缩的恒载内力 1．实腹拱恒载内力实腹式悬链线拱的拱轴线与恒载压力线完全吻合，可按纯压拱的公式计算。

由公式（3-3-9）)1(212-⋅=m fH g l k g df lg k f l g km H d g d g 22241=⨯-= 式中 241km k g -=。

⎰⎰==ξd l g dx g l V x x g 1101将公式（3-3-8）、式（3-3-11）代入上式积分得：l g k l g m m m V d g d g '22)]1[ln(21=-+-=式中 )]1[ln(2122'-+-=m m m k g系数gk、gk'可自表3-3-6查得。

结构重力产生的水平推力系数g k 和垂直反力系数gk' m1.347 1.543 1.756 1.9882.240 2.514 2.8143.1423.500g k0.13200 0.13577 0.13974 0.14392 0.14834 0.15300 0.15793 0.16315 0.16869 g k '0.55663 0.58762 0.62060 0.65574 0.69323 0.73327 0.77611 0.82201 0.87126因为恒载弯矩和剪力均为零，拱圈各截面的轴向力N 按下式计算：ϕ=cos H N g2．空腹拱恒载内力（1）考虑拱轴线与恒载压力线偏离弯矩空腹式无铰拱桥的恒载内力=不考虑偏离的影响+偏离引起的恒内力。

（2）不考虑偏离的影响时，空腹拱的恒载内力亦按纯压拱计算 fMH jg ∑=，∑=P V g （半拱恒载重）弯矩和剪力均为零，所以轴力ϕcos g H N =注：（1）设计中、小跨径的空腹式拱桥时，可偏安全地不考虑偏离弯矩的影响。

（2）大跨径空腹式拱桥，偏离一般比中、小跨径大，恒载偏离弯矩是一种可供利用的有利因素，应当计入偏离弯矩的影响。

（二） 、弹性压缩引起的内力拱轴长度的缩短，会在拱中产生相应的内力。