第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N (),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N ()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,cov 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322a dx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<10∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
由于 ()01ln 222<+-=∂∂ααnL 故∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα是α极大似然估计.(2) 由211+-=αξE 令ξα=+-211 得 .112ˆξξα--= 14. 设n ξξ,,1 为取自参数为λ的普哇松分布的一个子样.试证子样平均ξ和∑=*--=n i i nn S 122)(11ξξ都是λ的无偏估计.并且对任一值10,≤≤αα()2*1nS αξα-+也是λ的无偏估计.证: 对普哇松分布有λξξ==D E , 从而.λξ=E ().11212*λξξξ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑=D E n ESi n i n故ξ与2n S 都是λ的无偏估计. 又()[]()λλααλαξα=-+=-+112*n S E故()2*1n S αξα-+也是λ的无偏估计.15. 设,,,1n ξξ 为取自正态母体()2,σμN 的一个子样,试适当选择c ,使()21112∑-=+-=n i i i c S ξξ为2σ的无偏估计.解: 由μξ=i E 2σξ=i D 且n ξξ,,1 相互独立可知,2μξξξξ=⋅=j i j i E E E j i ≠ 从而()()()()[]212112211212122ξξξξξξE n E n c E E E E c ES i i i i ni ---=-+=++=∑()()12122-=-=n c D n c i σξ.取()121-=n c 时, n S 为2σ的无偏估计.17. 设随机变量ξ服从二项分布()(),1,0,1=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-x x n x P xn x θθξ,n试求2θ无偏估计量.解: 由于θξn E = ()()()()222211θθθθθξξξ-+=+-=+=n n n n n E D E故()().122θξξ-=-n n E 从而当抽得容量为N 的一个子样后,2θ的无偏估计为:()().1ˆ22--∑=n Nn i i ξξθ量. 解: ()322a dx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a得ξ3ˆ=a .34. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2,σμN 的一个子样,其中μ为已知,证明(i) ()2121∑=-=ni i nn S μξ是2σ的有效估计;(ii) ∑=-=ni i n 121μξπσ是σ的无偏估计,并求其有效率. 证()i 由()n nS n222~χσ知, .22σ=n ES nDS n422σ=, 又()2,σμN 的密度函数为()()22221σμσπ--=x ex f , 故()()22222ln 21ln σμπσ---=x f对2σ求导得：()[]224221ln σμσσ--=∂∂x f 从而()()[]4422442221241ln σσμξσμξσσ=+---=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂E f E ()()4222221ln σσσ=∂∂-=I L E或， 故R C -下界为nn 414221σσ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅- 。
2n S ∴ 是2σ的有效估计.()ii . 由于()σππσμσπμξσμ2222122222==-=--∞--∞+∞-⎰⎰dy ey dx ex E y x i i故σσ=ˆE ， 即σˆ是σ的无偏估计. 又 ()[]2222121122222221ˆσπσπσπμξμξπμξπσn n E E n D n D i n i -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-⋅=∑=而()[]22222221ln σσμξσσ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂E f E故C —R 下界为n22σ， σˆ的有效率为876.022222=-σπσnn 。
30 .设n ξξ,,1 是取自具有下列指数分布的一个子样. ()⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它,00,1x e x f xθθ证明ξ∑==ni i n 11ξ是θ的无偏、一致、有效估计。
证: 由于()θθθξθ=Γ==-∞⎰20dx e xE xi ξ∴是θ的无偏估计.又()2222223θθθξ=Γ==-∞⎰dx e x E x i ， 故2θξ=i D从而.2n D θξ=， 而()224211ln θθξθθ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂E f E 故R C -下界为,2nθ 因此ξ是θ的有效估计.另外,由契比可夫不等式()0222−−→−=≤≥-∞→n n D P εθεξεθξ 所以ξ还是θ的一致估计.32. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量, 都服从()()10,,2,1,0,1;<<=-=θθθθ x x f x， 则∑==ni i n T 1ξ是θ的充分统计量.证: 由于n ξξ,,1 的联合密度为()()ix n n x x f ∑-=θθ1,,1 ,2,1,0=i x取(),121ix n k ϑϑ-= 12=k , 则由因子分解定理知, n T 是ϑ的充分统计量.33. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量,都服从具参数为λ的普哇松分布,则∑==ni in T 1ξ是关于λ的充分统计量.证: 由于n ξξ,,1 的联合密度是()λλn i xn e x x x f i-∑∏=!1 2,1,0=i x取.21λλn x e k i-=, ()12!-=i x k π, 则由因子分解定理知 : n T 是充分统计量.第三章：假设检验1设2521,,,ξξξ 取自正态母体)9,(μN 其中μ为未知参数,ξ为子样均值，对检验问题0100:,:μμμμ≠=H H 取检验的拒绝域:{}c x x x C ≥-=0251:)(μ ,试决定常数c 使检验的显著性水平为0.05.解:因为），，（9N ~μξ所以），（259N ~μξ 在0H 成立下, ,05.03512C 3553P C P 000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-=≥-C μξμξ）（ 96.135,975.035==⎪⎭⎫⎝⎛ΦC C , 所以 C=1.176. 2．设子样),,(1n ξξ 取自正态母体2020),,(σσμN 已知，对检验假设0100:,:μμμμ>=H H 的问题，取临界域{}01:)(c x x x C n ≥= .（i ）求此检验犯第一类错误的概率α,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系.（ii ）设9,05.0,04.0,5.0200====n ασμ,求65.0=μ时不犯第二类错误的概率.解: (i).在0H 成立下, ），（nN ~200σμξ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥-=≥=n C n P C P 0000000σμσμξξα,10100u C ααμ--=∴=+其中1u α-是N （0，1）分布的α分位点。
在H 1成立下,），（nN ~20σμξ,()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<-=<=n C n P C P 00011σμσμξξβ=1000u α-⎛Φ=Φ=Φ- ⎝ ⎪⎝⎭当α增加时，1u α-减少，从而β减少；反之当α减少时，将导致β增加。
（ii ）不犯第二类错误的概率为1-β。
10.9500.650.511130.2u u αβ-⎛-⎛⎫-=-Φ-=-Φ-⨯ ⎪⎝⎭⎝=()()().7274.0605.0605.0125.2645.11=Φ=-Φ-=-Φ-4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？解：母体(),150,~2μξN ， 对假设1600:0=μH 采用U —检验法， 在H 0为真下，检验统计量观察值为 1.2578,0.05x uα===时临界值0.975121.96u u α-==。