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课堂作业
设有R=[-1,1]中的集合套 中的集合套 设有 H(λ)=[λ2-1,1- λ2] ，λ ∈[0,1] 所得的模糊集A的隶属函数 求由H所得的模糊集 的隶属函数 所得的模糊集 的隶属函数A(x)， ， 并作图。 并作图。
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第二章 模糊模型识别
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吉林ห้องสมุดไป่ตู้学计算机科学与技术学院
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“青年人”隶属函数曲线 青年人” 青年人
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重复实验
用同样的方法 在另外两个单位做实验——武汉大 在另外两个单位做实验 武汉大 学，西安工学院 得到如下曲线
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三所大学的调查
∈[0,1]
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表现定理的证明
由分解定理可知， 若H (λ )满足Aλ ⊆ H (λ ) ⊆ Aλ 则1，式均成立。 2
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表现定理的证明
∀λ ∈ [0,1] u ∈ Aλ ⇒ A(u ) > λ ⇒ A(u ) = (
α ∈[0,1] α ∈[0,1]
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模糊数学 vs. 概率论
形式上类似： 形式上类似：
用确定性手段研究不确定现象 不确定性的度量（隶属度与概率） 不确定性的度量（隶属度与概率）均 在[0，1]取值 ， 取值
不同的数学模型
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概率统计
概率： 概率：一个事件发生的概率可以通过 概率统计方法得到， 概率统计方法得到，即——做大量的 做大量的 随机试验， 随机试验，最后得到统计规律
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内容回顾
截集、 截集、强截集 分解定理Ⅰ 分解定理Ⅰ 分解定理Ⅱ 分解定理Ⅱ 分解定理Ⅲ 分解定理Ⅲ
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分解定理Ⅲ 分解定理Ⅲ
设A∈F(X) ，令 ∈
H :[0,1] → P( X ), λ a H (λ ) 满足Aλ ⊆ H (λ ) ⊆ Aλ 1)A = (∀λ ∈ [0,1])，则
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是集合套吗？ 是集合套吗？
例1. 设A∈F(U),∀λ ∈[0,1]，令 ∈ ∀ ， H1(λ)= Aλ={u | u∈U, A(u) ≥λ} ∈ H2(λ)= Aλ={u | u∈U, A(u) >λ} ∈ 满 H3(λ)条件Aλ ⊆ H3(λ) ⊆ 条
Aλ
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Question：上面哪个是集合套？ ：上面哪个是集合套？
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2-1. 隶属函数的确定
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隶属度从何而来？ 隶属度从何而来？
模糊数学的基本思想： 模糊数学的基本思想：
隶属度（隶属程度） 隶属度（隶属程度）
Question. 元素属于模糊集合的隶属度 从何而来？ 从何而来？
主观臆造？ 主观臆造？ 客观存在？ 客观存在？
隶属度是客观存在的！！！ 隶属度是客观存在的！！！
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是集合套吗？ 是集合套吗？
例2.设U={u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,u5}，U上 设 ， 上 有两个集值映射H 有两个集值映射 1和H2 ,判断哪个 判断哪个 是集合套
(1,1,1,1,1), 0 ≤ λ < 0.2 (1,1,1,1,1), 0 ≤ λ < 0.4 (1, 0,1,1,1), 0.2 ≤ λ < 0.5 (1, 0,1,1,1), 0.4 ≤ λ < 0.5 H1 (λ ) = (1, 0,1,1, 0), 0.5 ≤ λ < 0.6 H 2 (λ ) = (1,1,1,1, 0), 0.5 ≤ λ < 0.6 (0, 0, 0, 0,1), 0.6 ≤ λ < 0.8 (1,1,1, 0, 0), 0.6 ≤ λ < 0.8 (0, 0, 0, 0, 0), 0.8 ≤ λ ≤ 1 (0,1,1, 0, 0), 0.8 ≤ λ ≤ 1
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表现定理的推论
推论： 推论：设H∈u(U),记 ∈ ( )记 A=∪λ∈ λH(λ)，则 ∪λ∈[0,1] ，
∀λ ∈[0,1]， Aλ ⊆ H(λ) ⊆ Aλ ，
A(u)=sup{λ | u∈H(λ), λ ∈[0,1]} ∈
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表现定理的例子
设论域X=[-1,1]，集合套为 ， 设论域 H(λ)=[λ-1,1-λ], λ ∈[0,1] 所得的模糊集A的隶属函数 求由H所得的模糊集 的隶属函数 所得的模糊集 计算
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例子答案
A( x) = ∨ λ
x∈H ( λ )
考虑x ∈ [−1, 0], 要想x ∈ H (λ ), 必须λ − 1 ≤ x ⇔ λ ≤ x + 1 ⇒ A( x) = ∨ λ = x + 1
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张南纶的实验
在武汉建材学院进行大规模抽样调 请被抽取的大学生给出“ 查，请被抽取的大学生给出“青年 人”的区间 随机抽取129人的结果 人的结果 随机抽取
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27的隶属频率 的隶属频率
U λ
λ H (λ )
∈[0,1]
2)λ1 < λ2 ⇒ H (λ1 ) ⊇ H (λ2 ) 3) Aλ = I H (α ) (α ≠ 0), Aλ = U H (α ) (λ ≠ 1)
α <λ α >λ
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1-6 集合套
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分解定理Ш中的套 分解定理 中的套
" u0 ∈ A * "的次数 u0 对A的隶属频率 = lim n →∞ n
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“青年人”的隶属函数 青年人” 青年人
模糊集合A=“青年人”的隶属函数？ 青年人”的隶属函数？ 模糊集合 青年人 将论域U分组 将论域 分组 每组以其中值为代表， 每组以其中值为代表，计算各组的 隶属频率
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模糊数学的关键问题
如何确定隶属函数
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隶属函数的确定
主要方法： 主要方法： 模糊统计法 模糊分布 三分法
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隶属函数确定方法之一
模糊统计法
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确定“青年人” 确定“青年人”的隶属函数
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表现定理的证明
u ∈ H (λ ) ⇒ H (λ )(u ) = 1 ⇒ λ ∧ H (λ )(u ) = λ 因为A(u ) = (
U α
α H (α ))(u ) = ∨ [α ∧ H (α )(u )]
α ∈[0,1]
∈[0,1]
≥ λ ∧ H (λ )(u ) ⇒ A(u ) ≥ λ ⇒ u ∈ Aλ ⇒ H (λ ) ⊆ Aλ 证毕
A0.1 ={a, b, c, d , e, f }
A0.6 = {a, c, d , e}
A0.9 = {a, d }
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1 设u ∈ U , A(u ) = , 求截集A0.75 2 1 + 4u
A0.75 = [− 1 2 3 2 3 , 1 ]
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回到分解定理
分解定理： ∪λ∈[0,1] 分解定理：A=∪λ∈ λAλ 说明：一个模糊集可以由 说明：一个模糊集可以由自己分解 模糊集可以 出来的集合套 集合套来 出来的集合套来表示 Question. 反之是否成立？ 反之是否成立？
任给出一个集合套， 任给出一个集合套，能否表示一个模 糊集？ 糊集？ 表现定理
稳定在0.78附近 附近 稳定在 A(27)=0.78
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模糊统计
模糊统计就是做n次试验，然后计算一下， 模糊统计就是做 次试验，然后计算一下， 次试验 随着n增大 隶属频率趋于稳定， 增大， 随着 增大，隶属频率趋于稳定，该频 率稳定值称为u 率稳定值称为 0对A的隶属度 的隶属度
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模糊统计的实验原则
被调查人员一定要对模糊词汇的概 念很熟悉， 念很熟悉，且能够用数量近似表达 这一个概念。 这一个概念。 必须对原始数据进行初步分析， 必须对原始数据进行初步分析，删 除明显不合逻辑的数据。 除明显不合逻辑的数据。
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2-2. 模糊统计与概率统计
以人的年龄作为论域U，调查 个人选 以人的年龄作为论域 ，调查n个人选 请他们认真考虑“青年人”的含义后， 请他们认真考虑“青年人”的含义后， 提出自己认为“青年人” 提出自己认为“青年人”最合适的年龄 区间 对于确定年龄（如27），若n个人选中， 对于确定年龄（ ），若 个人选中， ）， 个人选中 个人的年龄区间覆盖27，则称m/n 有m个人的年龄区间覆盖 ，则称 个人的年龄区间覆盖 对于“ 为27对于“青年人”的隶属频率 对于 青年人” 随着n的增加，隶属频率趋于稳定。 随着 的增加，隶属频率趋于稳定。 的增加
x∈H ( λ )