模糊数学简介模糊数学是数学中的一门新兴学科，其前途未可限量。

1965年，《模糊集合》的论文发表了。

作者是著名控制论专家、美国加利福尼亚州立大学的扎德（L.A.Zadeh）教授。

康托的集合论已成为现代数学的基础，如今有人要修改集合的概念，当然是一件破天荒的事。

扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。

这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛的重视。

近40年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。

有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。

那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。

但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。

换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。

类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等，不胜枚举。

经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。

我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。

然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等情况要复杂得多。

假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。

但这似乎很有些悖于情理。

如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。

A的边界显然是圆周。

这是经典集合的图示。

现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。

因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。

这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。

例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。

这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。

精确和模糊，是一对矛盾。

根据不同情况有时要求精确，有时要求模糊。

比如打仗，指挥员下达命令：“拂晓发起总攻。

”这就乱套了。

这时，一定要求精确：“×月×日清晨六时正发起总攻。

”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头，生怕出个半分十秒的误差。

但是，物极必反。

如果事事要求精确，人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面，问：“你好吗？”可是，什么叫“好”，又有谁能给“好”下个精确的定义？有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。

例如，考核学生成绩，规定满60分为合格。

但是，59分和60分之间究竟有多大差异，仅据1分之差来区别及格和不及格，其根据是不充分的。

不仅普遍存在着边界模糊的集合，就是人类的思维，也带有模糊的特色。

有些现象是精确的，但是，适当的模糊化可能使问题得到简化，灵活性大为提高。

例如，在地里摘玉米，若要找一个最大的，那很麻烦，而且近乎迂腐。

我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。

它的工作量跟玉米地面积成正比。

土地面积越大，工作越困难。

然而，只要稍为改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米，而是找比较大的，即按通常的说法，到地里摘个大玉米。

这时，问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成意外的简单，挑不多的几个就可以满足要求。

工作量甚至跟土地无关。

因此，过分的精确实际成了迂腐，适当的模糊反而灵活。

显然，玉米的大小，取决于它的长度、体积和重量。

大小虽是模糊概念，但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。

然而，人们在实际判断玉米大小时，通常并不需要测定这些精确值。

同样，模糊的“堆”的概念是建立在精确的“粒”的基础上，而人们在判断眼前的东西叫不叫一堆时，从来不用去数“粒”。

有时，人们把模糊性看成一种物理现象。

近的东西看得清，远的东西看不清，一般的说，越远越模糊。

但是，也有例外的情况：站在海边，海岸线是模糊的；从高空向下眺望，海岸线却显得十分清晰。

太高了，又模糊。

精确与模糊，有本质区别，但又有内在联系，两者相互矛盾、相互依存也可相互转化。

所以，精确性的另一半是模糊。

对模糊性的讨论，可以追溯得很早。

20世纪的大哲学家罗素（B.Russel）在1923年一篇题为《含糊性》（Vagueness）的论文里专门论述过我们今天称之为“模糊性”的问题（严格地说，两者梢有区别），并且明确指出：“认为模糊知识必定是靠不住的，这种看法是大错特错的。

”尽管罗素声名显赫，但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。

这并非是问题不重要，也不是因为文章写得不深刻，而是“时候未到”。

罗素精辟的观点是超前的。

长期以来，人们一直把模糊看成贬义词，只对精密与严格充满敬意。

20世纪初期社会的发展，特别是科学技术的发展，还未对模糊性的研究有所要求。

事实上，模糊性理论是电子计算机时代的产物。

正是这种十分精密的机器的发明与广泛应用，使人们更深刻地理解了精密性的局限，促进了人们对其对立面或者说它的“另一半”——模糊性的研究。

扎德1921年2月生于苏联巴库，1942年毕业于伊朗德黑兰大学电机工程系，获学士学位。

1944年获美国麻省理工学院（MIT）电机工程系硕士学位，1949年获美国哥伦比亚大学博士学位，随后在哥伦比亚、普林斯顿等著名大学工作。

从1959年起，在加里福尼亚大学伯克莱分校电机工程、计算机科学系任教授至今。

扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究，在非线形滤波器的设计方面取得了一系列重要成果，已被该领域视为经典并广泛引用。

60年代初期，扎德转而研究多目标决策问题，提出了非劣解等重要概念。

长期以来，围绕决策、控制及其有关的一系列重要问题的研究，从应用传统数学方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中，使扎德逐步意识到传统数学方法的局限性。

他指出：“在人类知识领域里，非模糊概念起主要作用的惟一部门只是古典数学”，“如果深入研究人类的认识过程，我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱。

这一点，是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。

”精确的概念可以用通常的集合来描述。

模糊概念应该用相应的模糊集合来描述。

扎德抓住这一点，首先在模糊集的定量描述上取得突破，奠定了模糊性理论及其应用的基础。

集合是现代数学的基础，模糊集合一提出，“模糊”观念也渗透到许多数学分支。

模糊数学的发展速度也是相当快的。

从发表的论文看，几乎是指数般的增长。

模糊数学的研究可分三个方面：一是研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、统计数学的关系；二是研究模糊语言和模糊逻辑；三是研究模糊数学的应用。

在模糊数学的研究中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊凸论、模糊概率、模糊环论等分支。

虽然模糊数学是一门新兴学科，但它已初步应用于自动控制、模式识别、系统理论、信系检索、社会科学、心理学、医学和生物学等方面。

将来还可能出现模糊逻辑电路、模糊硬件、模糊软件和模糊固件，出现能和人用自然语言对话、更接近于人的智能的新的一类计算机。

所以，模糊数学将越来越显示出它的巨大生命力。

是否有人反对呢？当然有。

一些概率论学者认为模糊数学不过是概率论的一个应用而已。

一些搞理论数学的人说这不是数学。

搞应用的人则说道理说的很好，但真正的实际效果没有。

然而，国际著名的应用数学家考夫曼（A.Kauffman）教授在访华时说：“他们的攻击是毫无道理的，不必管人家说什么，我们努力去做就是。

”模糊数学入门§1、集合的幂集与特征函数问题1．1、设集合A={x ∈N|1≤x ≤3}，试用列举法写出集合P （A ）={S|S ⊆A}，考察含有0个、1个、2个元素的集合它们的子集作为元素构成的集合中分别有多少个元素？问题的答案是不难得出的：P （A ）={Ф，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}。

含有0个、1个、2个、3个元素的集合它们的子集作为元素构成的集合中分别有1个、2个、4个、8个元素。

定义1．1、一般地，由集合A 的所有的子集为元素构成的集合，即P （A ）={S|S ⊆A}称为集合A 的幂集，其中空集Ф和集合A 称为集A 的平凡子集。

由问题1．1的答案可归纳得出下列结论：结论1．1、一个有n 个元素的集合A ，其幂集中的元素个数为2 n 个。

证明的方法是多种多样的，只要你愿意去探索！下面给出几种比较典型的证法，抛砖引玉：证法1、当n=3时，由问题1．1，我们先列出{1，2}的所有子集：Ф，{1}，{2}，{1，2}接着在第二行里给前一行中每个子集添加一个元素3得{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}} 从而得出n=3时集合A 的所有子集。

这就是我们处理更大的n 值的关键想法。

例如当n=4时，A={x 1，x 2，x 3，x 4}的子集是{ x 1，x 2，x 3}的8个子集，加上给这8个子集中的每一个添入x 4而得的子集。

于是4个元素的集合有24个子集。

基于这种想法的证明，是数学归纳法的一个简单应用。

证法2、上述解答方法的另一途径可作如下讨论：对于每个n ，以S n 表示具有n 个（不同的）元素的一个集合的（不同的）子集数。

设A 为一个n+1元集合，并记其中元素为x 。

那么在A 的不含x 的子集与含x 的子集之间，存在一一对应（即：一个不含x 的子集T 与T ∪{x}相对应）。

前一类型的子集即是A －{x}的一切子集。

A －{x}是个n 个元素的集合，因此必定有S n+1=2S n 。

这个递归关系对于n=0，1，2，3，……都是成立的。

与S 0=1这件事联合起来，即有S n =2n 。

证法3、不含有集合A 中任何一个元素的子集有0n C 个，含有A 中1个元素的子集有1nC 个，含有A 中2个元素的子集有2n C 个，……，含有A 中r(0≤r ≤n)个元素的子集有r n C 个，……，含有A 中n 个元素的子集有nn C 个。

从而一个有n 个元素的集合A ，其幂集中的元素个数为：0n C +1n C +2n C +……+r n C +……+n n C =2n 个。

定义1．2、若一个集合含有作为对象被考虑的所有元素的全体，通常将这样一个集合称为全集，或称论域，用大写字母U 、I 等表示。

定义1．3、如果U 为论域，P （U ）是U 的幂集，A 、B ∈P （U ），定义P （U ）上的集合运算：并集：由A 和B 中的元素的全体构成的集合称为A 与B 的并集，记为A ∪B ，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}。