2018—2019学年度第二学期八县(市)一中期末联考 高中一年数学科试卷命题学校：罗源一中 命题、复 核：高一集备组完卷时间：120分钟 满 分：150分参考公式：球的表面积公式：24S r π=，∑∑∑∑====Λ--=---=ni ini ii ni ini iixn xyx n y x x x y yx x b 1221121)())((，x b y a ΛΛ-=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 直线03=-+y x 的倾斜角是( )A. 30B. 45C. 135D. 1502.某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( ) A.15 B.61 C.30 D.313.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球” 4.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m //α，n //α，则m n // ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④5.已知直线012:1=-+y ax l ，直线028:2=-++a ay x l ，若21//l l ，则直线1l 与2l 的距离为（ ） A ．55 B ．552 C ．554 D ．5 6. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：1 7 7 249x则5个剩余分数的方差为( )A.7116 B.536C ．36 D.576 7．已知直线06)23(=---y x k 不经过第一象限，则k 的取值范围为（ ） A ．)23,(-∞ B ．]23,(-∞ C ．),23(+∞ D ．),23[+∞8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ． 22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.759．三棱锥,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B --的大小为( )A ．90 B ．60 C ．45 D ．3010. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.271 B.92 C.94 D.278 11．已知点)1,1(A 和点)4,4(B ，是直线01=+-y x 上的一点，则PB PA +的最小值是（ ） A ．63 B ．34 C ．5 D ． 5212. 在三棱锥ABC S -中，1,2=====SC BC AC SB SA ，二面角C AB S --的大小为60，则三棱锥ABC S -的外接球的表面积为（ ） A ．34π B ． π4 C ．π12 D ． 352π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线 则的值为___________14. 已知圆C 的圆心在直线03=-y x ，与轴相切，且被直线0=-y x 截得的弦长为72，则圆C 的标准方程为____________15.是棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点到点的最短路程是________16. 利用直线与圆的有关知识求函数12)2(943)(2+---=x x x f 的最小值为_______ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知直线0132:1=-+y x l 与直线0823:2=--y x l 的交点为P ，点Q 是圆034222=+--+y x y x 上的动点.（1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2,BC ＝3.（1）求证：AB 1∥平面BC 1D ； （2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．19.（本小题满分12分） 某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示：（1）求出频率分布表中b a n ,,的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：(1)(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AB AD BC AD ⊥,//，侧面⊥PAB 底面ABCD . （1）求证：平面⊥PAB 平面PBC ；（2）若AD BC AB PA 2===，且二面角A BC P --等于o45，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知两个定点)1,0(),4,0(B A ，动点满足PB PA 2=.设动点的轨迹为曲线，直线l ：4-=kx y . （1）求曲线的轨迹方程；（2）若l 与曲线交于不同的D C ,两点，且oCOD 120=∠（O 为坐标原点），求直线l 的斜率； （3）若1=k ，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线的两条切线QN QM ,，切点为N M ,，探究：直线MN 是否过定点.2018—2019学年下学期八县一中联考数学期末试卷参考答案13、3- 14、 9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x 15、132 16、3解：（1）由⎩⎨⎧=--=-+08230132y x y x 得⎩⎨⎧-==12y x 3................................................)1,2(-∴的坐标为P 4............................................................................. （2）由2)2()1(03422222=-+-=+--+y x y x y x 得2),2,1(半径为圆心的坐标为∴5............................................................... 设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为012=---k y kx 6................................................ 由题意可知， 直线PQ 与圆有公共点即211222≤+---k k k 8......................................................................71≥-≤∴k k 或 9.................................................................................. ),7[]1,(+∞⋃--∞∴的斜率的取值范围为直线PQ 10...................................18、(1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD.1.......................∵四边形BCC 1B 1是平行四边形．∴点O 为B 1C 的中点． 2............................................... ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1.4....................... ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， 5............................................... ∴AB 1∥平面BC 1D. 6............................................... （2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角7....................... 21==AB AA 221=∴AB 2=∴OD2132AC ==∆AC BD D ABC Rt 的中点，则为中，在 O50.050.3530na nb nì=ïïïï=íïïï=ïî 同理可得，213=OB 9 (13)262cos 222=⋅-+=∠∆BD OD OB BD OD ODB OBD 中，在 11.......................13261所成角的余弦值为与BD AB ∴ 12............................................... （注：其它方法酌情给分）19、解：（1）由频率分布表可得， 所以，100,35,0.3n a b ===------ 3分------ 6分（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135?；第4组720435?；第5组710235?. --------------- 8分 设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C . 则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}11,,A B {}12,,A B {}13,,A B {}14,,A B {}11,,A C{}12,,A C {}12,,B B {}13,,B B {}14,,B B {}11,,B C {}12,,B C {}23,,B B {}24,,B B {}21,,B C {}22,,B C {}34,,B B {}31,,B C {}32,,B C {}41,,B C {}42,B C ，{}12,,C C 一共21种. ------------ 10分记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件，即A 包含的基本事件分别为：{}11,,A C {}12,,A C {}12,,C C 一共3种，于是()31217P A == 所以，()()617P A P A =-=------------ 12分20、解：(1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50 2.............. .∑∑==Λ--=512251i i i ii xn x yx n yx b ＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5，4.................................a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5， 5................................. 因此，所求回归直线方程为：y ^＝6.5x ＋17.5. 6 (2)基本事件：(30,40)，，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， 10..........................................................两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：(30,40)，(30,70)，(40,70)共3个 所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为103. 12.................. （注：其它写法酌情给分）21、（1）证明：由//,AD BC AD AB ^可得，BC AB ^因为，侧面PAB ^底面ABCD ，交线为AB ，BC Ì底面ABCD 且BC AB ^ 则 BC ^侧面PAB ，BC Ì平面PBC所以，平面PAB ^平面PBC ------------ 4分（2）解法一：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形 ------------ 6分取PB 的中点，连接AE 可得AE PB ^因为平面PAB ^平面PBC ，交线为PB ，AE Ì平面PAB 且AE PB ^所以AE ^平面PBC ，点到平面PBC 的距离为AE . ------------ 8分 因为//,AD BC AD Ë平面PBC 则//AD 平面PBC所以点到平面PBC 的距离d 等于点到平面PBC 的距离，d AE =. 设1AD =，则2PA AB BC ===在PAB D 中，AE ；在ABD D 中，BD = ------------ 10分 设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sin5d AE BD BD q ===所以，直线BD 与平面PBC 分 解法二：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形，PA AB ^ ------------ 6分 由 BC ^侧面PAB 可得，BC PA ^，且AB BCB ?所以PA ^平面ABCD ------------8分 设1AD =，点到平面PBC 的距离为d ，则2PA AB BC ===由D PBC P BCD V V --=可得，1133PBC BCD S d S PA D D 鬃=鬃22=?，解得d ------------10分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sin d BD q =所以，直线BD 与平面PBC 分 22、解：（1）设点的坐标为(),x y由2PA PB ==整理可得 224x y +=所以曲线的轨迹方程为224x y +=. ----------- 3分（2）依题意，2OC OD ==，且0120COD ?，则点O 到CD 边的距离为即点()0,0O 到直线l ：40kx y --=1= ，解得 k =?所以直线l 的斜率为分 （3）依题意，,ON QN OM QM ^^，则,M N 都在以OQ 为直径的圆上 Q 是直线l ：4y x =-上的动点，设(),4Q t t - 则圆的圆心为4,22t t 骣-琪琪桫，且经过坐标原点即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ----------- 9分 又因为,M N 在曲线：224x y +=上由22224(4)0x y x y tx t y ì+=ïíï+---=î，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--= 由t R Î且()440t x y y +--=可得，04+40x y y ì+=ïí=ïî 解得11x y ì=ïí=-ïî所以直线MN 是过定点()1,1-. ----------- 12分。