PM 1 EC ， PN 1 BD ， PM //EC ， PN //BD
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根据平行线性质可得 DPM DCE ， NPD ADC
在 RtABC 中， A 90 ， AB AC ， AD AE
可得 BD EC ， DCE ADC 90
即得 PM PN ， PM PN
故答案为： PM PN ； PM PN ．
∵把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，使 AB 与 AD 重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中
AF AF EAF GAF AE AG
（1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是_________，位置关系是
_________；
（2）探究证明：把 ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN ， BD ， CE ，判断 PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把 ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD 4 ， AB 10 ，请直接写出
AF AF EAF GAF AE AG
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC 中，AB=AC=2 2 ，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC= AB2 AC2 =4，
PMN 面积的最大值． 【答案】（1） PM PN ， PM PN ；（2）等腰直角三角形，见解析；（3） 49
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【解析】性质可得 PN 与 PM 等于 DE 或 CE 的一半，又△ABC 为 等腰直角三角形，AD=AE，所以得 PN=PM，且互相垂直；
九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图①和②，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°，点 E、F 分别在 BC、CD
上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，使
AB 与 AD 重合，则能得 EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系
时，仍有
EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC= 2 2 ，点 D、E 均在边 BC 上，且
∠DAE=45°．若 BD=1，求 DE 的长．
如图，把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF． 则 AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中
解得：x= 5 ， 3
即 DE= 5 ． 3
【点睛】 本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股 定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
2．如图 1，在 Rt△ABC 中， A 90 ， AB AC ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， AD AE ，连接 DC ，点 M ， P ， N 分别为 DE ， DC ， BC 的中点．
ADG ADF 180，即 B D 180 ；
（3）先作辅助线，把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF，根据已知
条件证明△FAD≌△EAD，设 DE=x，则 DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再 Rt BDF 中根据勾股定
理即可求出 x 的值，即 DE 的长． 【详解】 （1）解：如图，
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：
如图，把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合， 则 AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G 在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中
AD AD FAD EAD AF AE
∴△FAD≌△EAD， ∴DF=DE， 设 DE=x，则 DF=x， ∵BD=1， ∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，
由勾股定理得： DF 2 BF 2 BD2 ， x2 (3 x)2 1 ，
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得 BAD CAE ，
又 AB AC ， AD AE ∴ BAD≌CAE
∴ BD CE ， ABD ACE ， ∵点 M ， P 分别为 DE ， DC 的中点
∴ PM 是 DCE 的中位线
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3） 5 3
【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到 EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合，根据（1），要使 EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明 F、D、G 在一条直线上，即
（2）由旋转可推出 BAD≌CAE ，再利用 PM 与 PN 皆为中位线，得到 PM=PN，再利
用角度间关系推导出垂直即可； （3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知 PM=PM，且 PM⊥PN，利用三角形面积 公式求解即可． 【详解】
（1） PM PN ， PM PN ；
已知点 M ， P ， N 分别为 DE ， DC ， BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得