几何最值问题大一统
追本溯源化繁为简
目有千万而纲为一,枝叶繁多而本为一。
纲举则目张,执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫,费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一,最终以一心一理贯通万事万物,则达自由无碍之化境矣(呵呵,这境界有点高,慢慢来)。
关于几何最值问题研究的老师很多,本人以前也有文章论述,本文在此基础上再次进行归纳总结,把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗,以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个:①[定点到定点]:两点之间,线段最短;②[定点到定线]:点线之间,垂线段最短。
由此派生:③[定点到定点]:三角形两边之和大于第三边;④[定线到定线]:平行线之间,垂线段最短;⑤[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长);⑥[定线到定圆]:线圆之间,心垂线截距最短;⑦[定圆到定圆]:圆圆之间,连心线截距最短(长)。
余不赘述,下面仅举一例证明:[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长)。
已知⊙O半径为r,AO=d,P是⊙O上一点,求AP的最大值和最小值。
证明:由“两点之间,线段最短”得AP≤AO+PO,AO≤AP+PO,得d-r≤AP≤d+r,AP最小时点P在B处,最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”,其实质也是由“两点之间,线段最短”推得)。
上面几种是解决相关问题的基本图形,所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式,如圆与线这些图形不是直接给出,而是以符合一定条件的动点的形式确定的;再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况:(1)直接包含基本图形;(2)动点路径待确定;(3)动线(定点)位置需变换。
(一)直接包含基本图形。
AD一定,所以D是定点,C是直线
的最短路径,求得当CD⊥AC时最短为
是定点,B'是动点,但题中未明确告知B'点的运动路径,所以需先确定B'点运动路径是什么图形,一般有直线与圆两类。
此题中B'的路径是以为半径的圆弧,从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
例3.在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=3/5,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A'B'C,点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F',求线段EF'长度的最大值与最小值的差。
简析:E是定点,F'是动点,要确定F'点的运动路径。
先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环,外圆半径为BC,内圆半径为AB边上的高,F'是A'B'上任意一点,因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点,由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。
简析:动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧,本题的三条动线段
本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧,。