第一章 质点的运动1-1 已知质点的运动方程为：，。

式中x 、y 的单位为m ，t 的单位为ｓ。

试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。

23010t t x +-=22015t t y -=分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t t xx 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v当t ＝0 时, v o x ＝-10 m·ｓ-1 , v o y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v o 与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==xy αv vα＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta xx v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v则加速度的大小为222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则32tan -==x ya a β β＝-33°41′(或326°19′)1-2 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。

现测得其加速度a ＝A-B v ，式中A 、B 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。

分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v ＝a (v )d t 分离变量为t a d )(d =v v后再两边积分． 解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．(1) 由题意知 v vB A ta -==d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为t B A d d =-vv(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有⎰⎰=-t t B A 0d d d 0v vvvv得石子速度 )1(Bt e BA--=v 由此可知当,t →∞时,BA→v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由)1(d d Bt e BAt y --==v 并考虑初始条件有 t e BA y t Bt y d )1(d 00⎰⎰--= 得石子运动方程)1(2-+=-Bt e BAt B A y1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a = - k v 2，k 为常数。

在关闭发动机后，试证：（1）船在t 时刻的速度大小为 100+=t kv v v ；（2）在时间t 内，船行驶的距离为 01ln(1)x v kt k=+；（3）船在行驶距离x 时的速率为v =v 0e -kx 。

[证明]（1）分离变数得2d d vk t v=-， 故20d d v tv vk t v =-⎰⎰， 可得：011kt v v =+． （2）公式可化为001v v v kt=+，由于v = d x/d t ，所以：00001d d d(11(1)v )x t v v kt k v kt ==+++kt积分0001d d(1(1)xt)x v kt k v kt =++⎰⎰．因此 01ln(1)x v kt k=+． (3 ) 要求 v ( x )，可由 dxdv v dt dx dx dv dt dv a ===，有 kdx vdvdx dv v kv -=⇒=-2积分得kx x vv e v v kx v vdx k v dv -=-=⇒-=⎰⎰000,ln 0 证毕．1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度v 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，22220222203/222220()()()l v t H h dldt H h v d l dt H h v t =+-∴=-=⎡⎤-+⎣⎦h所以小车移动的速度220220)(t v h H tv v --=图1-18 习题1-4图小车移动的加速度[]2/32202202)()(tv h H v h H a +--=1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 ，a 的单位为 m/s 262x a +=2，x 的单位为 m 。

质点在x =0处，速度为10m/s ，试求质点在任何坐标处的速度值。

解：解： ∵x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===分离变量： x x adx d )62(d 2+==υυ两边积分得 cx x v ++=322221 由题知，时，,∴0=x 100=v 50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v1-6 如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度 h 后落在一倾角的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。

30=θ解：小球落地时速度为gh v 20=建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图0060cos v v x =200060cos 2160cos t g t v x += （1） 00060sin v v y =200060sin 2160sin t g t v y -= （2） 第二次落地时 0=y gv t 02=所以 m gv t g t v x 8.0260cos 2160cos 202000==+=1－7一人扔石头的最大出手速率为v ＝25m/s ，他能击中一个与他的手水平距离L=50m ，高h=13m 的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？解：由运动方程21cos ,sin 2x vt y vt gt θθ==-,消去t 得轨迹方程 222(1)2g y xtg tg x vθθ=-+ 以x ＝05.0m ，v ＝25ms －1代入后得2222250(1)502255020(1)520()11.254gy tg tg tg tg tg θθθθθ=-+⨯⨯=-+=--+ 取g ＝10.0，则当 1.25tg θ=时，max 11.25y =〈13 所以他不能射中，能射中得最大高度为max 11.25y =1-8 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动，v 0 、b 都是常量。

(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ？(3) 当加速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a ｔ,而加速度的法向分量为a n ＝v 2 /R ．这样,总加速度为a ＝a ｔe ｔ＋a n e n ．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs ＝s t -s 0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解 (1) 质点作圆周运动的速率为bt ts-==0d d v v 其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为2402222)(R bt b R a a a tn -+=+=v其方向与切线之间的夹角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==Rb bt a a θt n20)(arctan arctan v(2) 要使｜a ｜＝b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得bt 0v =(3) 从t ＝0 开始到t ＝v 0 /b 时,质点经过的路程为bs s s t 2200v =-= 因此质点运行的圈数为bRR sn π4π220v ==1-9 已知质点的运动方程为：t hz t R y t R x ωπωω2,sin ,cos ===，式中ω、、h R 为正的常量。

求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。

解：（1）轨道方程为222R y x =+t hz ωπ2=这是一条空间螺旋线。

在O xy 平面上的投影为圆心在原点，半径为R 的圆，螺距为h （2）t R dtdxv x ωωsin -==2222224πωh R v v v v zyx+=++=（3） t R a x ωωcos 2-=t R a y ωωsin 2-=0=z a 222ωR a a a y x =+=1－10飞机以100m·s -1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。

问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2s 后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？ 解：（1）21y gt t 2452x m ∴== ＝，（2） 5.12==θxyarctg（3）2222n v dv dt 1.96/,10.0(m 9.80/,10.0(9.62/9.8)t ta a m s g a ga m s g m s ∴====∴=== 2＝或1.88/s ,g=9.8）或，g＝1－11一无风的下雨天，一列火车以v 1=20m/s 的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降，求雨滴下落的速度v 2。

（设下降的雨滴作匀速运动）解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V 1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V 2，旅客看到雨滴下落速度V 2’为相对速度，它们之间的关系为22'v v v 1=+121/75 5.36v v tg ms -∴==1－12升降机以加速度a 0=1.22m·s -2上升，当上升速度为2.44m·s -1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m ，试求：（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。

解：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a’=g+a,螺丝落到底面时，有210()20.705h g a t t s=-+==（2）由于升降机在t 时间内的高度为201'2h v t at =+则'0.716d h h m =-=1－13飞机A 相对地面以v A =1000km/h 的速率向南飞行，另一飞机B 相对地面以v B =800 km/h 的速率向东偏南30°方向飞行。

求飞机A 相对飞机B 的速度。

解：()1000,4001000400tg ,4052',2A B A Bv j v j v v v j j θθ==+=-+∴==＝－方向西偏南916/v k ==m h1－14 一人能在静水中以1.10m·s -1的速度划船前进，今欲横渡一宽为1000m 、水流速度为0.55m·s －1的大河。