), ),
rR rR
p0
r
0 R r0
r
电势零点不能选在无限远！
14
§3.3 电势叠加原理
在电荷体系的电场中，某点电势等于各电
荷单独在该点产生的电势的代数和
U Ui
i
注意：各电荷的电势零点必须相同。
应用电场叠加原理证明 ：
E
Ei
i
U(
p)
p0
Edr
p0
Ei
dr
Ui
(
p)
p
ip
i
15
1、点电荷体系
19
点电荷的等势面 电场线 等势面
20
电偶极子的等势面 等势面 电场线
+
21
两相等点电荷的等势面
电场线 等势面
22
电场线 等势面23电场线来自等势面平行板电容器
24
人心脏的等电势 线，类似于电偶 极子。
25
二、场强和电势的关系
静电场中某点的电场强度，等于该点电 势的负梯度
E U
Ux
11
3、均匀带电球体的电势
E1
1
4 0
qr R3
rˆ,
rR
E2
1
4 0
q r2
rˆ,
rR
qr R
r R:
U
(r
)
R
r
E1dr
R
E2dr
q
8 0
R
3
3R2 r 2
q
U
(r
)
8
0
R3
3R2 r 2
,
rR
q
4
0r
,
rR
qR U
球心：U(0) 3 q
2 4 0R
0R
r
12
4、无限长圆柱面(线电荷密度) 的电势
p0
U( p) Edr p
—把单位正电荷自该点移到电势零点，电 场力作的功。
把单位正电荷自电势零点移到该点—外 力作的功。
8
电势零点的选择： 电荷分布在有限范围—选无穷远为电势零点
U( p) Edr p
通常选地球为无穷远电势零点。 电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无 限远。
【演示实验】高压带电操作
电场分布： E 0, r R
R
E , rR
2 0r
rp
电势分布：选 p0 (r r0 ) 点为电势零点
r0
r0
r
R
:U(r)
r
Edr
Edr R
2 0
ln(
r0 R
)
r0
r
R :U(r)
r
Edr
2 0
ln(
r0 r
)
R
rp r0
p0
13
U(r)
2
2
0 0
ln(
r0 R
ln( r0 r
q2
rA rB
BC
q1 R 2
R1 rC
U
A＝U1 A＋U 2 A
q1
4 0rA
q2
4 0rA
q1 q2
4 0rA
U
B＝U1B＋U
＝ q1
2B 4 0rB
q2
4 0R2
U C＝U1C＋U 2C＝4q10
R1
q2
4 0R2
18
§3.4 电势梯度 一、等势面 电势相等的点组成的曲面。 等势面特征： 1、电场线与等势面处处正交，并指向电势 降低的方向。 2、两等势面相距较近处的场强大，相距 较远处场强较小。
b
Edr
b
aL
aL
i
Ei
dri
b Ei
aL
dr
i
b
a
Ei
dr
路径无关
路径无关
二、静电场的环路定理 — 保守性的表述
静电场强沿任意闭合路径的积分等于零
Edr0
L
( L)
5
二、高斯定理与环路定理完备描述静电场
EdS
1
0
qi
(对任意电场都成立)
S
(S)
Edr0 (只对静电场成立)
电磁学（第三册）
第3章 电势
陈信义编
1
§3.1 静电场的保守性 §3.2 电势差和电势 §3.3 电势叠加原理 §3.4 电势梯度 §3.5 电荷在外场中的静电势能 §3.6 电荷系的静电能 §3.7 静电场的能量 补充：静电场环路定理的微分形式
【演示实验】高压带电操作、电容器储能
2
§3.1 静电场的保守性
9
三、 几种带电体的电势分布 1、静止点电荷的电势 选无穷远为电势零点
U
(r
)
r
q
4 0
r
2
dr
q
4
0
r
10
2、均匀带电球面的电势
U
(r
)
r
Edr
R
0dr
r
R
q
4 0r
2
dr
r
q
4 0r
2
dr
q
4
0
r
,
q
4 0
r
R R
,
rR
Rq
球面内等电势, 等于球
面上的电势。
U
球面外点的电势等于处
0 R
于球心的“点电荷”在该 r 点的电势。
l
n
n
所以，U的方向是电势升高最快的方向。
电场线指向电势降低最快的方向。
29
【例】均匀带电球面，由电势分布求场强分布。
U
(r
)
q
4 0
q
, R
,
rR rR
4 0r
Rq U
0
r
场强沿径向 只要计算径向分量
E
U (r r
)
r
r
q
4 0
R
0,
rR
q
4
0r
q
4 0r
2
,
rR
30
§3.5 电荷在外场中的静电势能
U
(
p)
i
n 1
qi
4 0ri
qj dqqi
p ri
2、连续分布的电荷体系
p
dq
r
U
(
p)
电
荷体
系
dq
4 0r
16
【例】均匀带电圆环轴线上的电势
q
dq
r
R
O
x
p
U( p)
dq
4 0r
1
4 0r
dq
q
q
q
40r 40 R2 x2
【例】两同心带电球 面，求 A，B，C 点的 A 电势。
单独在该点的电势的和!
i
U
y
j
U
z
k
证明见力学§4.8由势能求保守力。 电势梯度矢量：U 静电场强等于负电势梯度矢量。
26
U 的基本特征：U 垂直于过该点的等势 面，方向是电势升高最快的方向。
证明：
以等势面U上 p点为原点作直角坐标系kˆ,mˆ ,nˆ
nˆ 垂直于等势面，kˆ和 mˆ 与等势面相切
U+DU
nˆ
U kˆ P mˆ
27
U+DU
nˆ
U kˆ P mˆ
U kˆ U mˆ U nˆ U nˆ U k m n n
所以，U垂直于过该点的等势面。 因此
电场线与等势面处处正交。两等势面相距 较近处的场强大，相距较远处场强较小。
28
U+DU
nˆ
lˆ
U P mˆ
kˆ
U nˆ U n
U U lˆ U cos U
一、静电场是保守场
1、点电荷的静电场是保守场
E
q
rˆ 有心力场
4 0r 2
单位正电荷沿任意路径由点ab，电
场力作的功只与起、终点位置有关，与
移动的路径无关。
3
L
Wab
b
aL
q
4 0r
2
rˆ
dr
q
4 0
b a
dr r2
q
4 0ra
q
4 0rb
Ua
Ub
4
2、任意电荷体系的静电场是保守场
电荷体系由点电荷组成—场叠加原理
( L)
【思考】匀速运动电荷
的电场是静电场吗？
环路积分不为零， 所以不是静电场！
Q+ v
6
§3.2 电势差和电势 静电场是保守场—定义电势差
一、电势差 单位正电荷的电势能的差。
b
Ua Ub Edr a
把单位正电荷由点ab电场力作的功。
电势的减少＝电场力作的功
7
二、电势 选 p0 点为电势零点：Up0 0，则 p点电势
W＝qU
电荷的电量×该点的电势 “电荷与电场的相互作用能” 【例】氢原子中电子的静电势能
原子核（质子）的电势：U(r) e
4 0r
电子的静电势能：W＝(e)U(r) e2