x 1 A 1 co 1 t A s 1 c2 o π1 ts xxx
x A co t A sc2 o πts
1
2
22
2
2
2
讨论 A1 A2 ,21 12 的情况
方法一
x x 1 x 2 A 1 c2 π o 1 t A s 2 c2 π o 2 ts
x (2 A 1 c2 o πs 22 1t)c2 o πs 22 1t
Fma m 2x kx
3、能量特征
l0 k
m
x
A
o
A
FkxEp(x)1 2k2 x
作简谐运动的系统是保守系统：势能为二次方
形式，机械能守恒.
简谐运动能量守恒
E1m2v1k2 x1kA 2
2
2
2
简谐运动势能曲线
Ep
C
E
B
Ek
Ep
A
O x A x
推导
能量守恒
简谐运动方程
E1mv21kx2 常量 22
A
oA1
A2
A3
A4
A5
x
3 0
AAi NA 0
x N A 0 co t ( s N [ 1 ) ]
i
讨 论
(1) 2kπ
(k 0 , 1 , 2 , )
(2) N2k'π
A4 A5
O
( k ' k,k N ' 1 , 2 , )A0A6
A3
A2
A1
x
xAcost
1
0
x 2A 0cot s ()
x 3 A 0cot s2 ()
x N A 0 co t ( s N [ 1 ) ]
xAcots()
sin( N )
A A0 sin(
2 )
2
N 1
2
3 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
（3）用旋转矢量 A 与ox轴夹角表示相位，
不仅相位计算方便，而且有助于对相位概 念的理解 （4）旋转矢量为振动合成提供了直观的几 何方法
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1A co t1 s () x2A co ts 2 ()
( t2 ) ( t1 )
振幅部分
合振动频率
振动频率 (12)2
振幅
A2A1co2sπ 2
1t
2
Amax2A1 Amin0
x (2 A 1 c2 o πs 221t)c2 o πs 221t
2π 2
1
T
π
2
T 1
2 1
21
拍频（振幅变化的频率）
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
t 时刻
起始时刻
t
π3
π3
x/m
0.080.04 o 0.04 0.08
t π π rads1 t 20.667s
3
2
3
例2：根据运动曲线确定相位
例2、已知物体作简谐运动的 图线，试根据图线写出其振动方程
xm
0.04
0.02
A
A2
x1A1cost
x (A A )cot sπ() 21
x 2A 2cots π ()
小结
（1）相位差 212kπ (k0， 1 ， )
AA1A2
加强
（2）相位差 21(2k1 )π(k0， 1 ， )
AAA
1
2
减弱
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
*2 多个同方向同频率简谐运动的合成
x
超前
π反相 为其它 落后
x
x
o
o
o
t
t
t
一维简谐运动
xA co ts
v A si n t
Acost
2
a 2A co t s
y
avor t A x
2A co t s
例1：根据运动状态确定相位 例 1 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，
其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求
d(1mv21kx2)0 dt 2 2
mvdvkxdx0 dt dt
d2x k x 0 dt2 m
二、简谐运动的特征量
xA co ts
1、圆频率
2、振幅 A
3、初相位
k m
E1k2x1m2v1kA 2 22 2
相位
(t)t
x A c o t s A c os
v A sit n A s in
例子：一维简谐的机械振动
xA co ts
vdxAsint
dt
ad2x2Aco ts2x
d2t
图示 xt,vt,at等图线 ( 0)
x
o
t
v
o
t
a
o
t
2、动力学特征
a x d d22 xt 2A co ts 2x Fma m 2x kx 线性回复力
x 2x0
k m
振动的成因： 回复力+惯性
1、旋转矢量
t 0
o
自Ox轴的 原点
O作一矢量 A ，使 它的模等于振动的
振幅A，并使矢量A
A 在 Oxy平面内绕点
O作逆时针方向的
x 0
x 匀角速转动，其角
x0Acos
速度 与振动频率
相等，这个矢量就
叫做旋转矢量.
A
t t
t
o
x
xAcots()
点旋以转o 矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运
动.
xA co ts ()
点旋以转o 矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
用旋转矢量图画简谐运动的xt图
2、旋转矢量法的应用
（1）旋转矢量端点在 ox轴上投影点的运
动，形象而直观地展示了简谐运动。
（2）旋转矢量把描述简谐运动的三个物理
量 (A,,t)直观地表示出来
相位Φ的意义: 表征任意时刻（t）物体 振动状态. 物体经一周期的振动，相位改变 2 .
人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。
初相位 t0时 ， (0)
xA co ts () 初始条件
v A sin t () t0xx0 vv0
tan v0 x0
sin v0
cos x0
A
A
对给定振动系统，圆频率、周期T、 频率由系统本身性质决定，振幅A和初相 由初始条件x=x0, v=v0决定.
代入 xA co ts ()
π
3
v0
0
π
3
A
π 3
x/m
0.080.04 o 0.04 0.08
π
x03.08coπst(π) 23
可求（1）t1.0s,x,F
t1.0s 代入上式得 x0.06m 9
F k x m 2x1.7 010 3N
m0.01kg v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
角频率为
t 2
四、振动合成 1 两个同方向同频率简谐振动的合成 *2 多个同方向同频率简谐运动的合成
3 两个同方向不同频率简谐运动的合成
**4 两个相互垂直的同频率的简谐运 动的合成
1 两个同方向同频率简谐振动的合成
设一质点同时参与
两独立的同方向、同频
率的简谐振动：
xAco ts ()
1
1
1
x2A 2cot s2 ()
A2
2 1
0 x2
A1
x1 x
两振动的位相差 21=常数
xA co ts ()
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2 s1)(xx1x2
A
x tanA A 11csio n1 1 s A A2 2scio n 22 s
A2
2
1
A1
0 x2 x1 x
讨论 已知 t0,x0,v00求
0Acos π
2
v 0 A si n 0
sin0取 π
x
2A
xAcos(t π)
2
o
A
v
x
o
xt图
Tt
T 2
三、简谐运动的几何表示：旋转矢量
代数表示
复数表示
xA co ts zAiet
图像表示
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
矢量表示
A
t t
t
o
x
xAcots()
第九章
振动
前言 1、振动是物质的普遍运动形式
2、某物理量在某一值附近作周期性变化— 振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期 往复运动
电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性 变化
简谐运动 最简单、最基本的振动
简谐运动
合成 分解
复杂振动
傅里叶分析
一、简谐运动的 基本特征 1、运动学特征
物理量是时间的简谐函数（余弦或正弦）
x 1A 1cots (1)
x 2A 2cot s2 ()
x nA ncot sn ()
x x 1 x 2 x n
xA co ts ()
A
A3
3
A2
2
o 1 A1
x