类型1：设f (x) ax2 bx c, a 0
（1）f (x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
（2）f (x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
类型：一元二次不等式在R上恒成立问题 方法： 化归为二次函数，数形结合
6
对于实数x [0,1],不等式x2 2mx 2m 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。 解法（一）: 设f (x) x2 2mx 2m 1
解析：f (x)
Hale Waihona Puke 0恒成立
f f
(m) 0 (m 1)
0
13
14
1 一元二次不等式在R上恒成立问题
2 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
1 二次函数 2 参变分离 3 更换主元 4 数形结合
15
(2014广东)已知函数f (x) 3x2 -2mx 1, g(x) | x | 7 4
设g x x2 1
2(x 1)
令t x 1(1 t 0)
则g t (t 1)2 1 t2 2t 2 t 1 1
2t
2t
2t
利用对勾函数性质可得m 1 2
10
类型：
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
方法：（1）二次函数法
（2）分离参数法
即求f (x)的最小值f (x)min 0即可
7
f (x) x2 2mx 2m 1(0 x 1), 对称轴x m
1
m 0

f
(0)

2m
1

0
得

1 2

m

0

2
0

f
m (m)

1 -m2

2m
1

0
得0

m

1
3
m 1

11
对于实数m[0,1],不等式x2 2mx 2m 1 0 恒成立，求x的范围
解析：原不等式转化为f (m) 2(x 1)m (x2 1) 且在m [0,1]上f (m) 0恒成立
根据题意有：
f f
(0) (1)

x2 2( x
1 0 1) (x2
求m的取值范围
18

1)

0
即： x x
2 2
+1 0 -2x+3

0
得的取值范围为x

R
对于实数m 0,1, x2 2mx 2m 1 0
恒成立，求实数x的取值范围。
12
。
已知函数（f x） x2 +mx-1，若对任意x m, m 1，
（f x） 0恒成立，试求实数m的取值范围。
对于一切实数x不等式mx2 2mx 2m 1 0 恒成立，求m的取值范围。
解析：设f (x) mx2 2mx 2m 1，
(1)m 0,1 0显然成立
(2)
m

0 (2m)2

4m(2m

1)

0即m

m0 1或m

0
m 0
5
x2前面系数的讨论
1
高中数学复习中的恒成立问题， 渗透着换元、化归、数形结合、函数 与方程等思想方法，有利于考查同学 们的综合解题能力。因此也成为历年 高考的一个热点。
一元二次不等式恒成立问题作为 恒成立问题的基础，具有举足轻重 的作用
2
一元二次不等式恒成立问题基 本策略是转化为研究函数单调性求 最值的问题
3
4
若对任意x (1, 2), f (x) g(x),求m的取值范围
16
数学常见恒成立, 最值分析来考虑; 变量分离和图象, 往往也来共参与.
17
(2013山东济南)设f
(x)

x2
1对任意x


3 ，+ 2
，
f ( x ) 4m2 f (x) f (x 1) 4 f (m)恒成立(m 0)， m
f
(1)

m
1

得m 0

1
m 1
2
8
9
对于实数x [0,1],不等式x2 2mx 2m 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。
解法（二）：原不等式化为x2 1 2(x 1)m (1)当x 1时不论m取何值1 0显然成立
(2)当x 1时即x [0,1)时，不等式可化为 : m x2 1 2(x 1)