韦达定理（根与系数关系）
• （1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之 后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c 之间有如下关系： • +＝； ＝可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。 • *实根与虚根。 • （2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-P， x1x2=q • （3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
b b2 4ac x 2a
（
b2 4ac 0 ）
• • • •
一般步骤： 2 ①将方程化为一般形式 ax bx c 0(a 0) ②确定方程的各系数a，b，c，计算 b 2 4ac 的值； ③当b2 4ac 0 ，将a，b，c以及 b2 4ac 的值代入求
应用拓展
求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0， 不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
• 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元 二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可． • 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 • ∵（m-4）2≥0 • ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 • ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方 程．
程x2+3mx+n=0的解，则 6m+2n=______．
•
已知关于x的方程（k2－1）x2＋（k＋1）x －2＝0． （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？ 并求出它的根； （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？ 写出这个方程的二次项系数，一次项系数和常 数项．
二次函数y=ax2的 图象和性质
x … -3 -2 -1 9 4 1 0 0 1 1 2 4 3 9 …
y=x2 …
…
描点,连线
y
10 8 6 4
y = x2
b b2 4ac x 2a
根公式，得出方程的根
注意:
• ①当时 b 4ac 0 ，方程无解； • ②公式法是解一元二次方程的万能方法； • ③利用 的值，可以不解方程 2 就能判断方程根的情况； b 4ac
2
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判 别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
1、下列式子哪些是方程？ 2＋3＝5 没有未知数
方程的本质 特征是什么？
3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 x
不是等式
2、我们学过哪些方程？ • 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：设长方形绿地的宽为x米， 设未知数 则长为（x＋10）米，可得方程： 长×宽＝面积 x（x＋10）=900 相等关系
• 问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明 年年底增加到7．2万册。求这两年的年平均增长率。
3x 11x 4 0
配方法
• 用配方法解一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的一般步骤 • ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项 系数； • ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边 为常数项； • ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平 方，把方程化为 ( x m)2 n(n 0) 的形式； • ④用直接开平方法解变形后的方程。 • 注意：当 n 0 时，方程无解
二次项 一次项 常数项
练习 1、指出下列一元二次方程的二次项 系数、一次项系数和常数项：
方程 二次项 一次项 系数 系数 常数 项
2x 2 x 3 0
2 3 1
1 0 －3
－3 －5 0
3x 5 0
2
x 3x 0
2
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
拓展练习：
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。 • 什么叫方程的根？
• 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。 • 解：把x＝2代入原方程得： • (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 • 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程

b
例题：
• 将方程左边配成完全平方式，得到的方 程是（ ） • A、( x 3) 2 3 B、( x 3) 2 6 • 2 2 • C、( x 3) 3 D、 ( x 3) 12
因式分解法
• 一般步骤如下： • ①将方程右边得各项移到方程左边，使方 程右边为0； • ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； • ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； • ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 • 例题：解方程 2
• 解：设这两年的年平均增长率为x, • 去年底：5 • 今年底：5＋5x＝5（1＋x）
注意：每年都是 在上一年的基础 上增长！
• 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x • ＝5（1＋x）（1＋x） • ＝5 （1＋x）2
• 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
• 整理得： x2＋10x－900＝0 5x2＋10x－2.2＝0
2
Байду номын сангаас
例题：
• 将方程 x 4 x 1 0 配方后，原方 程变形为（ ） 2 2 • A． B．( x 4) 3 ( x 2) 3
2
2 ( x 2 ) 3 • C．
( x 2) 5 D．
2
公式法
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
3x 2 5 x 3
不是 是 不是
2
x 4
2
x2 2 x x 1
x 4 ( x 2)
2
不是
2 ax +bx+c=0（a≠0)
讨论：为什么二次项系数a不能为0？假如a=0 会出现什么情况？b、c能不能为0？
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0
2 ax +bx+c=0
（m 1) x
m 1
mx m 1 0
2
是一元二次方程，求m的值。
• 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2， • 解之得，m=1或m=－1， • 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， • 所以m=1。 温馨提示：注意陷井
二次项系数a≠0！
若x=1是关于x的一元二次方
1、二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① ③
yx
2
y xx
2
1 ② yx x
2
④ y x x 1
2
1 2 ⑤ y x 2x 4 3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念； 2 0(a 0) （2）一元二次方程的一般形式 ax bx c •和 二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次 方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
（ 1 ） 3x 2 x 2
（2） 7 x 3 2x 2
3x2－1x－2=0 2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－5x－11=0
（3）x(2 x 1) 3x( x 2) 0
（4） 2 x( x 1) 3( x 5) 4
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等． • 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
一元二次方程的应用
• 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解 应用题类似 • ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量 关系； • ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接 设元； • ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这 个关系列出含有未知数的等式，即方程。 • ④“解”就是求出说列方程的解； • ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符 合实际意义的方程。
一元二次方程
教学目标：
• 一元二次方程概念 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程应用题
一元二次方程概念
• 一元二次方程概念及一元二次方程一 般式及有关概念．
一元二次方程概念
• 只含有一个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是2（二次）的整式方程， 叫做一元二次方程．