第四章 习题答案1.求下列函数的极值。

（1）by ax y xy x y 3322--++= （2）x xy 212-=（3）()1613+-=x y （4）()1ln >=x xxy 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得032=-+=a y x f x ，032=-+=b y x f y解得，)2,2(),(a b b a y x --=为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为03>=H ，因此)2,2(a b b a --为),(y x f 的严格极小值点，极值为22353b ab a ---。

（2）根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。

（3）根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为1=x 。

由充分条件知66''-=x y 。

当1=x 时0''=y ，所以该函数极值不存在。

（4）根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为e x =。

由充分条件知4''3ln 2xxx x y -=。

当e x =时，013''<-=ey ，因此该函数存在极大值为e 1。

2. 讨论函数()()122-+=y x xy y x f ，的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件，可得)21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(--=-=-===y x y x y x y x y x 为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为)0,0(),(=y x 时，01<-=H ，因此函数在该点无极值；)21,21(),(=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(--=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为813. 试说明对于任意的0>βα，，生产函数βαL AK x f =)(是凹函数。

证明：βαL KA f K 1-∂=,11--∂=ββαL K A f KL βααL K A f KK 2)1(-∂-=,2)1(--=βαββL K A f LL所以函数的Hessian 矩阵为因为10,10<<<<βα，所以0),(>L K H ;且0)1(,0)1(221>->-A A ,Hessian 是 负定的，因此生产函数是严格凹函数。

4. 考虑生产函数βαK L y =。

如果11010<+<<<<βαβα，，，试说明该生产函数对于L 和K 的任意取值都是严格凹函数。

如果1=+βα，该函数是什么形状？证明：（1）同上，可求得函数的Hessian 矩阵为Hessian 是负定的，该函数对于K 、L 任意取值都是严格凹函数。

5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L （劳动），每期工资率为0W 。

若该厂商每期的固定成本为F ，产品的价格为0P ，要求：（1） 写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数；（2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；（3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解:（1）生产函数为：)(L f Q =收益函数为：)(L f P Q P R ⋅=⋅=成本函数为：F W L C +⋅=0利润函数为：)()(0F LW L Pf C R +-=-=π（2）利润最大化的一阶条件为：0)(0=-=∂∂W LL df P L π，即P W L L df 0)(=。

该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。

（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：因为0>P ，所以0)(22<Ld L df ，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最大化.6. 某厂商有如下的总成本函数C 与总需求函数Q ：，Q Q -Q C 5011173123++= P Q -=100.请回答下列问题：（1） 确定总收益函数R 与总利润函数π。

（2） 确定利润最大化的产出水平及最大利润。

解：（1）)100(Q Q PQ R -==(2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，11,1==**Q Q 。

利润最大化的二阶充分条件为：1222+-=∂∂Q Qπ， 当1=Q 时，02>∂∂Qπ，函数取得极小值为-55.33； 当11=Q 时，02<∂∂Qπ，函数取得极大值为111.33； 所以，在产出水平为11时，利润最大为111.33。

7. 设有二次利润函数()，k jQ hQ ++=2Q π试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：（1） 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；（2） 证明利润函数为严格凹函数；（3） 求在正的产出水平Q 下的最大化利润。

解：（1）由题可知，当0=Q 时，k =π。

由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为0<k 。

（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为02=+=∂∂j hQ Qπ， 求得hjQ 2-=；二阶充分条件为h Q 22=∂∂π。

函数为严格凹函数满足的充要条件：0)(''<x f ，即02<∂∂Qπ, 因此，0<h 。

(3)在正的产出水平下，02>-=hjQ ，因此0>j 。

8. 假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为1P 和2P ，产品的需求函数Q 及成本函数C 为：211240-P P -Q =，21235-P -P Q =，102221++=Q Q C ，求利润最大化的价格水平。

解：利润函数2835185270837212122212211-++---=-+=P P P P P P C Q P Q P π利润最大化的一阶必要条件为：027*******=+--=∂∂P P P π,018568212=+--=∂∂P P P π解得，,5.21,721==**P P又020,06,01421222112211>=-<-=<-=πππππ所以，在利润最大化是价格水平为,5.21,721==P P9. 假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为1P 和2P ，单位时间内i 产品的产出水平为i Q ，厂商成本函数为22212122Q Q Q Q C ++=，求：（1） 利润最大化的产出水平；（2） 若总成本函数为222122Q Q C +=，两产品的生产是否存在技术相关性，1Q 与2Q 的新最优水平是多少？（3） 对参变量1P 和2P 进行比较静态分析。

解:（1）)22(2221212211Q Q Q QQ P Q P ++-+=π4211=--=∂∂Q Q P Q π,041222=--=∂∂Q Q P Q π可得,34211P P Q -=,3413212P P Q --= （2）)22(22212211Q QQ P Q P +-+=π04111=-=∂∂Q P Q π，04211=-=∂∂Q P Q π， 可得，1141P Q =,2241P Q = 而0212=∂∂Q Q π,即在最优产量下，21,Q Q 不存在技术相关性。

（3）由（1）问中的最优产量,34211P P Q -=,3413212P P Q --= 3411=∂∂P Q ,3121-=∂∂P Q ,31312-=∂∂P Q ,3422-=∂∂P Q 即，产品1价格上升1单位，产量上升34，价格下降313； 产品1价格上升1单位，产量下降31，价格下降34；10.一个公司有严格凹的生产函数()L K Q ,。

给定=P 产品价格，=r 资本的利用率，=ω工资。

要求：（1） 对利润达到最大化的投入要素K 与L 进行比较静态分析，并作简要的分析说明；（2） 假定生产函数是规模报酬递减的Coob-Douglas 函数，做同样的比较静态分析。

解：（1）wL rK L K PQ --=),(π利润最大化时，最优解为),,(w r P K K *=，),,(w r P L L *=******--=wL rK L K PQ ),(π为最优值函数。

r 变化对最大利润的影响为：**********-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=∂∂K r L w r L L Q P r K r r K K Q P r π 利润最大化时有0=-∂∂**r K Q P ,0=-∂∂**w LQ P则r K r ∂∂=-=∂∂**ππ，wL w ∂∂=-=∂∂**ππ 即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。

（2）wL rK L PK --=βαπ利润最大化时，最优解为),,(w r P K K *=，),,(w r P L L *=******--=wL rK L K PQ ),(π为最优值函数。

r K r ∂∂=-=∂∂**ππ，w L w ∂∂=-=∂∂**ππ,βαπ)()(***=∂∂L K P11. 考虑参数为a 的极大化问题函数()()043;22>++-=a a ax x a x f ：（1） 利用包络定理求函数()a x f ;的最大值关于参数a 的导数；（2） 分析参数a 对目标函数的最大值的影响。

解：（1）假设最优解为)(a x x *=，（2）一阶条件为0)),((=∂∂*xa a x f ，即03)(2=+-*a a x 所以，参数a 与木匾函数的最大值同向变动。

12. 考虑参数最优化问题()1323,m ax 2343+-+-=x e x x a a x f a （a 为参数）：（1） 求目标函数的极大值关于参数a 的导数；（2） 分析参数a 对目标函数的极大值的影响（假设这个问题的最优解()0≠*a x ）。

解：（1）假设最优解)(a x x *=利用包络定理（2）0)(≠*a x ，由（1）中结果，0),(<*daa x df，所以参数a 对目标函数极值的影响是同增同减的。