实数的大小比较的常用方法一、法则法比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

例1比较F与- 5的大小。

析解：由于丨-二上二,丨-®"5，且—5，所以5。

说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。

二、平方法2 2用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：a b- a b。

例2比较3 7与7'-3的大小。

析解：由于（3、7）2=：63（7、.3）2 H47，而63 "47，所以3： 7：：: 7、. 3。

说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、一 a、b、一 b、c、一 c 的大小。

b0 c图1析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数 a、一 a、b、一 b、c、一 c表示的点画出来，容易得到结论： Y “b心：：：-b ：：： c.---1--- U,----- 1__ 1 --- L ---- U _____ l------c b -a 0 a -b c图2四、作差法：差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a — b> 0时，得到a > b 。

当a — b< 0时，得到a< b o 当 a — b = 0,得到 a=b o笛-1 1例1:( 1)比较 3 与5的大小。

(2)比较1—与1—T 的大小。

笛1 的-2笛「1 1解••• 5 —5=5 v 0 , •••5 <5 o解•/ (1 — . 2)—( 1 — 了 ) = V .2 >0 , 1 —> 1 — \ 3。

例2、比较_"1" 1 - "' ■的大小。

解析：因为U -U -屈=靠-应n 0，所以 ' -遁八-翻。

五、作商法aaa1：= a b; 1= a 二b; 1= a ：： b.比较实数的大小的依据是：对任意正数a 、b 有：b b b 来比较a 与b 的大小。

笛-1 1例1：比较 5 与5的大小。

笛-1 1^5-1 1解：•••5 十 5 = V 1< 15 < 520081111 20082221222333例2比较20081与2008 1的大小。

20081111m = ---- 222—析解：设 20081a=2008111，则 a 2=2008222,a 3=2008333.m a 1 a 31 a 4a 3a 1"——= --- . ------ = ------------- 224 2n a1 a1a 2a1a 3 a -2a 2=a(a -1)20,.a 3a 2a 2, .a 4a 3a 1 a 42a 八1,m a 4a 3a 1n _ a 4 2a 211，2008222 12008333 1a 2 1^a 3 1a 12008111120082221 即 2008222 120083331例3比较益与籍的大小警宁込型9 x 竺?=4036081 < 12010 20092010 2008 4036080所以 2009 < 200820102009六、倒数法1 1倒数法的基本思路是设a, b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a >h 时，a v b 。

来比较a 与b 的大小。

例1 ：比较—.咖与••沁—的大小。

1 1解•••-血丽=履丽+厕S ，厲-極丽=履亦+履丽 又•―顾 + Y 硕 v ；蚯 + -.'MM「丽—硕 > .蚯—. MM例2、已知a > 1,b > 2,试比较一^与—的大小2a 13a 2解：2a 1 2a 11= +— =2+— 因为a> 1，所以2+丄< 3aa a aa 3a 2 _ 3b2 2+ — =3+—因b> 2,所以 2 3+- > 31 一b b b b b 因为 2a 1 < 3a 2所以a> b a b2a 1 3a 2例3、设-':，则a 、b 、c 的大小关系是（） A 、a>b>c B 、a>c>b C 、c>b>a D 、b>c>a解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法1_ I _2+占 _ 抠亠？ 1_ 1 _虧+2_£亠?1 1-1' ''因为-■：'?' / 所以1 “厂则b>c 。

又因为■ ' 1■，所以I '•，贝U a>b 。

由此可得：a>b>c 。

故选A 。

七、 平方法解: 首先,1平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a>0, b>0时，可由/ >尸得到a> b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5：比较「「6与的大小解：（丿 I * 6） - 8 } 2,12 ,（月}: A =8+2 '15。

又■/ 8+2 1? v8+2,2 +「6 v 八,5 0八、估算法估算法的基本是思路是设a, b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

価-? 1例4:比较 X 与£的大小価-3 1解：••• 3< 貯v 4 .则—3v 1.X v 8九•比较被开方数法。

基本是思路是，当a>0，b>0,若要比较形如a心二Ed的大小，可先把根号外的因数a与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例6:比较2 J与3门的大小解: ••• 2万八而=血,3倉邱而八历。

又••• 28>27, . 2J > 3 门。

十、特殊值法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

1例1：当0vxv 1时，分，工，・的大小顺序是__________________ 。

1 1 1解：（特殊值法）取丄=2，则：J/，丄=2o1 1 1v ! v 2 v2, . f v I v 丄。

例2、已知xvy<0,设- ，则M N、P、Q的大小关系是（）。

A MvQvPvN、MvPvQvN C Q<N<P<M、N<Q<P<M的是（）A.c v a v d v bB.b v d v a v cC.a v c v d v bD.b v c v a v d分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.解因为 a = 2° = 1, b= （— 3）2= 9, c = =一術,d= J丿=2,而一的v 1 v2v9,所以c v a v d v b.故应选A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。

对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。

能快速地取得令人满意的结果。

十^一、中间值法（还是判不了，就把中人找）如果a<c, c<b，那么a<b o若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。

例1、比较匸—:-’的大小。

解析：因为皿w府<5，所以顾+ 25屈。

所以+ 丘应_ 2，即40+ 2<765-3例2、比较-3.55 和-3 4的大小9解：•3.55 V -3.5 / /.5-3 > - 34即-3— > -9 9 9所以-•3.55 V -3.5 V-34即-3.55 V-3-9 9十二、分子有理化法例14、比较■' - 川、的大小。

解析：根据条件，不妨设,则M=4 N=1, 应选DoP = 2 Q = 2亍o不难得到：NvQvPv M因此,例3、已知a> 1,b > 2,贝U —2a +1V或=)分析：为填空题，可用赋值法。

取a=2, b=3代入，-5> 2所以填入“〉？”。

11例 4 设a= 20, b= ( —3)2, c =nV, d= d,则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确寸+怎寸+与I * 一頁碍申1I 0 +冷)(寸—鸟)1寸— f e < —寸I E。