数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1、已知全集U= {}1,2,3,4,5，集合A= {}3,4，B= {}1,2,3，则()U C A B 等于（ ）A ．{}3B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}1,2,3 2、已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a 等于（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．2-3、已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．13cmB ．23cmC ．33cmD ．63cm4、已知{}n a 是各项为正数的等比数列，12341,4,a a a a +=+=则5678a a a a +++=（ ）A ．80B ．20C ．32D ．25535、若a= 3(,sin )2α，b= 1(cos ,)3α，且a // b ，则锐角α=（ ）A ．015B ．030C ．045D ．060 6、已知 1.224log 3,log ,0.7x y z π-===，则（ ）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y z x <<D ． y x z << 7、设函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象关于直线23x π=对称，且它的最小正周期为π，则 （ ）A. ()f x 在区间53,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 B. ()f x 的图象经过点30,2⎛ ⎝⎭C.()f x 的图象沿着x 轴向右平移6π个单位后所得图象关于y 轴对称 D. ()f x 在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-8、已知直二面角l αβ--，点A ∈α，B ∈β，A 、B 到棱l 的距离相等，直线AB 与平面β所成的角为030，则AB 与棱l 所成的角的余弦是（ ）A ．2 B ．2 C ．12D ．49、已知点(,0)(0)F c c >是双曲线12222=-by a x 的右焦点，F 关于直线3y x =的对称点A 恰在该双曲线的右支上，则该双曲线的离心率是（ ）A 1B 1 D ．251+ 10、已知()ln 2f x x x =+-，()ln 2g x x x x =+-在()1,+∞上都有且只有一个零点，()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，则（ ）A ．2112x x <<<B ．1212x x <<<C ．1212x x <<<D ．212x x << 二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 11．若4cos()5πα+=，则sin(2)2πα-=__________．12．不等式lg(1)0x +≤的解集是__________． 13．已知a 、b 为实数，0a >，则ba b b a++的最小值为__________． 14．ABC ∆中，过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ，3,2BH HC ==,则()32AB ACBC +=__________． 15．由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为__________．16．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台、且冰箱至少生产20台。

已__________17．集合A= {}222(1),0x x a x a -<>，（1）判断1与集合A 的关系：1___ A(填∈或∉)；(2)若AZ 中有且只有两个元素（Z 为整数集），则a 的取值范围是B 1BD __________． 三、解答题：（本大题共5小题，共65分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18、（本题满分12分）已知函数()xx x x f sin sin cos 2cos sin 22-+=ϕϕ（πϕ<<0）在π=x 处取最小值．（1）求ϕ的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C ．19、（本题满分13分）已知四边形ABCD是矩形，AB=1，ABC ∆沿着对角线AC 折起来得到1AB C ∆且顶点1B 在平面ACD 上射影O 恰落在边AD 上，如图所示．（1）求证：平面1AB C ⊥平面1B CD ； （2）求三棱锥1B ABC -的体积1B ABC V -．20、（本题满分13分）已知数列{}n a 满足1123n n n a a -+=，1,2,3n =⋅⋅⋅，11a =， （1）求证：2n ≥ 时，总有113n n a a +-=； （2）数列{}n b 满足⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n a log n 3n a b n n ,求{}n b 的前2n 项和2n S ．21、（本题满分13分）已知函数322()13f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点12,x x ，且12x x <（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：211()12f x >．22、（本题满分14分）已知曲线C ：221(0)3y x x -=>，A (1,0)-，F （2,0） （1） 设M 为曲线C 上x 轴上方任一点，求证：2MFA MAF ∠=∠；（2） 若曲线C 上存在两点C ，D 关于直线l ：12y x b =-+对称，求实数b 的取值范围；（3） 在（2）的条件下，是否存在过C 、A 、D 、F 的圆，且该圆的半径为32．如果存在，求出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．参考答案选择题：1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．A 二、填空题：11．725 12．(]1,0- 13．1 14．0 15 16．20 17．∈；12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题：18、（1）2()sin (2cos1)cos sin sin cos cos sin 2f x x x x x ϕϕϕϕ=-+=+sin()x ϕ=+x π=处取得最小值，322x k πϕπ∴+=+，22k πϕπ∴=+ 又()0,ϕπ∈，2πϕ∴=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）（2）()cos ,()22f x x f A A ===，由于()0,A π∈，所以6A π=在ABC ∆中由正弦定理得sin sin a bA B=，即10.5sin B =，sin 2B ∴=，．．．．．．．（9分） ()0,B π∈，4B π∴=或34B π=，当4B π=时，712C π=；当34B π=时，12C π= ∴7,12C π=或12C π= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分） 19、（1）1B O ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴1B O CD ⊥，又CD ⊥AD ，AD1B O =O∴CD ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D ∴1AB CD ⊥，又11AB B C ⊥，且1B CCD C =1AB ∴⊥平面1B CD ，又1AB ⊂平面1AB C∴ 平面1AB C ⊥平面1B CD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）（2）由于1AB ⊥平面1B CD ，1B D ⊂平面ABCD ，所以11AB B D ⊥在1Rt AB D ∆中，1B D ==，又由111B O AD AB B D ⋅=⋅得111AB B DB O AD⋅=3=，所以11111133236B ABC ABC V S B O -∆=⋅=⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（13分）20、（1）由1123n n n a a -+⋅=⋅ （1） 对一切正整数n 都成立，得 212,23n n n n a a --≥⋅=⋅ （2）（1）除以（2）得2n ≥，13n na a += ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分） （2）由（1）中的结论知{}n a 的奇数项和偶数项分别从小到大构成公比为3的等比数列，其中1121213,23n n n n a a ---=⋅=⋅由已知有，21121322log 1,23n a n n n n b n b a ---==-==⋅∴{}n b 的前2n 项和21321242()()n n n S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=01132213n n n +--⨯+⋅-(1)312nn n -=+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（13分） 21、（1）2()22f x x x a '=++，由题意知方程2220x x a ++=在()1,0-上有两不等实根，设2()22g x x x a =++，其图象的对称轴为直线12x =-，故有 (1)0(0)011()(1)022g a g a g a ⎧⎪-=>⎪=>⎨⎪⎪-=+-+<⎩，解得102a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） （222a x x =-- 构造2()22g x x x =--利用图象解照样给分）（2）由题意知2x 是方程2220x x a ++=的大根，从而21,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且有222220x x a ++=，即22222a x x =--，这样3222222()13f x x x ax =+++ 32232222222224(22)1133x x x x x x x =++--+=--+ 设324()13x x x ϕ=--+，2()42x x x ϕ'=--=0，解得121,02x x =-=，由1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<；1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'>；()0,x ∈+∞，()0x ϕ'<知，324()13x x x ϕ=--+在1(,0)2-单调递增，又2102x -<<，从而2111()()212x ϕϕ>-=， 即211()12f x >成立。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（13分） （2）另解：由题意知2x 是方程2220x x a ++=的大根，从而21,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，由于102a <<2212ax x >，32322222222221()11332f x x x ax x x x =+++>+++， 设3221()132h x x x x =+++，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2211()2212()022h x x x x '=++=++> h(x)在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭递增，111()()212h x h >-=，即211()12f x >成立。