第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， îíì<<><¥=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2L =×=n n a ln a /2=\l （1）又据de Broglie 关系 l /h p = （2） 而能量()L h h ,3,2,12422/2/2222222222==×===n ma n a m n h m m p E p l （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()ò==×L ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =×2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=\,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,L ,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ÷÷øöççèæ++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x h pL ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V w =中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===×òL解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x £ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a w ===。

由此得 2/2w m E a = ， （2）a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件222222ap dx dx m m a m a nh w pw wp ++--×===×==òòòÑ得wwp m nm nh a h 22==（3） 代入（2），解出 L h ,3,2,1,==n n E n w （4）积分公式：c au a u a u du u a ++-=-òarcsin 22222221.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

提示：利用,,2,1,20L ==òn nh d p pj j j p 是平面转子的角动量。

转子的能量I p E 2/2j =。

解：平面转子的转角（角位移）记为j 。

它的角动量.j j I p =（广义动量），j p 是运动惯量。

按量子化条件L ,3,2,1,220===òm mh p dx p j pj pmh p =\j ，因而平面转子的能量I m I p E m 2/2/222h ==j ，L ,3,2,1=m第二章 波函数与Schrödinger 方程2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V v中运动。

（a ）证明粒子的能量平均值为 w ×=òr d E 3，y y y y w V m**22+Ñ=h （能量密度）（b ）证明能量守恒公式 0=×Ñ+¶¶s t w v ÷÷øöççèæѶ¶+Ѷ¶-=**22y y y y t t m s h v （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设y 已归一化）V T r d V m E +=÷÷øöççèæ+Ñ-=ò322*2y y h （1）ò=y y V r d V *3 （势能平均值） （2）()()()[]òòÑ×Ñ-Ñ×Ñ-=÷÷øöççèæÑ-=y y y y yy **3222*32)(2动能平均值r d m m r d T h h 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。

因此y y Ñ×Ñ=ò*322r d m T h （3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2y y y y w V m+Ñ×Ñ=h （4）且能量平均值 ò×=w r d E 3 。

（b ）由（4）式，得...2**.....2*22**..2222*2222V V t m t tt t V Vm t t t t t t s V V t m t m s E w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y yéù¶¶*¶¶*¶êú=Ñ×Ñ+Ñ×Ñ++¶ê¶¶ú¶¶ëûéùæöæö¶*¶¶*¶¶*¶êúç÷ç÷=Ñ×Ñ+Ñ-Ñ+Ñ++êúç÷ç÷¶¶¶¶¶¶èøèøëûæöæö¶*¶=-Ñ×+-Ñ++-Ñ+ç÷ç÷¶¶èøèø=-Ñ×+h h h h v v ..*t t y y y y æö¶*¶ç÷+ç÷¶¶èør t E s ¶¶+×-Ñ=v（r ：几率密度）s v×-Ñ= （定态波函数，几率密度r 不随时间改变）所以0=×Ñ+¶¶s tw v。

2.2考虑单粒子的Schrödinger 方程()()()()[]()t r r iV r V t r mt r t i ,,2,2122v v v v h v h y y y ++Ñ-=¶¶ （1）1V 与2V 为实函数。

（a ）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b ）证明粒子在空间体积t 内的几率随时间的变化为()òòòòòò+×Ñ-Ñ-=tt y y y y y y y y *32***322r d V S d im r d dt d Sh v h证：（a ）式（1）取复共轭， 得()*21*22*2y y y iV V mt i -+Ñ-=¶¶-h h （2）´*y （1）-´y （2）,得()()()y y y y y y yy y y y y y y *2**22**22*2*2222iV mV i mt i +Ñ-Ñ×Ñ-=+Ñ-Ñ-=¶¶h h h()()()y y y y y y y y *2***22hhV im t +Ñ-Ñ×Ñ-=¶¶\（3）即022¹=×Ñ+¶¶r rhv V j t ， 此即几率不守恒的微分表达式。

（b ）式（3）对空间体积t 积分，得()()()()y y y y y y y y y y y y y y ttt t *23***233***32222rV d S d im rV d r d im r d t S òòòòòòòòòòòòòò+×Ñ-Ñ-=+Ñ-Ñ×Ñ-=¶¶h v h h h上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积t 的几率（S d j vv ×-=òò ） ，而第二项代表体积t 中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3 设1y 和2y 是Schrödinger 方程的两个解，证明()()0,,2*13=òt r t r r d dt d v v y y 。

证： 12212y y ÷÷øöççèæ+Ñ-=¶¶V m t i h h Q （1） 22222y y ÷÷øöççèæ+Ñ-=¶¶V m t i h h （2） 取（1）之复共轭： *122*12y y ÷÷øöççèæ+Ñ-=¶¶-V m t i h h （3） ´2y （3）´-*1y （2）,得()()22*1*12222*12y y y y y y Ñ-Ñ-=¶¶-mt i h h对全空间积分：()()[]òòÑ-Ñ-=-22*1*122322*132,,y y y y y y r d mt r t r r d dt d i h v v h ()()()()()[]òÑ×Ñ+Ñ×Ñ-Ñ-Ñ×Ñ-=2*1*122*1*12322y y y y y y y y r d mh ()[]òÑ-Ñ×Ñ-=2*1*12322y y y y r d mh ()022*1*122=×Ñ-Ñ-=òS d m v h y y y y ，（无穷远边界面上，0,21®y y ） 即 ()()0,,.2*13=òt t r d dt d y y 。