量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b(常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1) 以及 λνc =, (2)||λνρρλd d v =, (3)有(),118)(|)(||52-⋅=⋅===kThc v v ehc cd c d d dvλνλλπλλρλλλρλρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。

但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下:01151186=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcd d λλλλλπλρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ,则上述方程为 x e x =--)1(5这就是一个超越方程。

首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯≈-3109.2λ这便就是维恩位移定律。

据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

1、2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。

解:根据德布罗意波粒二象性的关系,可知λh P =。

所考虑的粒子就是非相对论性的电子(动能eV c m E e k 621051.0⨯=<<),满足ek m p E 22=, 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式,有nmm mE c m hc E m h ph e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--λ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1, eV c m e 621051.0⨯=。

最后,对 Em h e 2=λ作一点讨论,从上式可以瞧出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都就是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。

自然单位制: 在粒子物理学中,利用三个普适常数(光速c,约化普朗克常数h ,玻耳兹曼常数 k)来减少独立的基本物理量的个数,从而把独立的量纲减少到只有一种(能量量纲,常用单位eV)。

例:1nm=5、07/keV ,1fm=5、07/GeV ,电子质量m=0、51MeV 、 核子(氢原子)质量M=938MeV ,温度518.610K eV -=⨯、1、3 氦原子的动能就是kT E 23=(k 为玻耳兹曼常数),求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长。

解:根据 eV K k 5106.81-⨯=⋅, 知本题的氦原子的动能为,1029.123234eV K k kT E -⨯=⋅==显然远远小于2c 核μ这样,便有Ec m hc He 22=λnmmm3.1103.11029.1107.321024.19496=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=---这里,利用了eV eV c m He 962107.3109384⨯≈⨯⨯=。

最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T 的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相应的德布罗意波长就为mkTh mEh 22==λ据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别就是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1、4 利用玻尔——索末菲的量子化条件,求:(1)一维谐振子的能量; 解:玻尔—索末菲的量子化条件为:⎰=nh pdq其中q 就是微观粒子的一个广义坐标,p 就是与之相对应的广义动量,回路积分就是沿运动轨道积一圈,n 就是正整数。

(1)设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为m,于就是有22212kx m p E +=这样,便有 )21(22kx E m p -±=这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动与沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回,运动了一圈。

此外,根据谐振子在最大位移±x 处p=0,221±=kx E 可解出 kEx 2±=±。

这样,根据玻尔——索末菲的量子化条件,有⎰⎰-++-=--+-x x x x nh dx kx E m dx kx E m )21(2)()21(222⇒nh dx kx E m dx kx E m x x x x =-+-⎰⎰+--+)21(2)21(222⇒2)21(22nh dx kx E m x x =-⎰+-为了积分上述方程的左边,作以下变量代换:θsin 2kEx =这样,便有2sin 2cos 2222nh k E d mE =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰-θθππ⇒ 2cos 2222nh d k m E =⎰-θθππ ⇒2212cos 222nh d k m E =+⎰-θθππ⇒222nh k m E=π⇒ 2nh k m E =π⇒ m k n E η=。

能量间隔 mk E η=∆ 最后,对此解作一点讨论。

首先,注意到谐振子的能量被量子化了;其次,这量子化的能量就是等间隔分布的。

1、5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现实种转化,光子的波长最大就是多少？解:关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程,如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题,严格来说,需要用到相对性量子场论的知识去计算,修正当涉及到这个过程的运动学方面,如能量守恒,动量守恒等,我们不需要用那么高深的知识去计算,具体到本题,两个光子能量相等,因此当对心碰撞时,转化为正负电子对所需的能量最小,因而所对应的波长也就最长,而且,有2c m hv E e ==此外,还有 λhcpc E ==于就是,有 2cm hc e =λ612361.2410 2.410 2.4100.5110m m nm ---⨯==⨯=⨯⨯ 尽管这就是光子转化为电子的最大波长,但从数值上瞧,也就是相当小的,我们知道,电子就是自然界中最轻的有质量的粒子,如果就是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子,那么所对应的光子的最大波长将会更小,这从某种意义上告诉我们,当涉及到粒子的衰变,产生,转化等问题,一般所需的能量就是很大的。

能量越大,粒子间的转化等现象就越丰富,这样,也许就能发现新粒子,这便就是世界上在造越来越高能的加速器的原因:期待发现新现象,新粒子,新物理。

第二章波 函数与薛定谔方程2、1证明在定态中,几率流与时间无关。

证:对于定态,可令(,)()i Et r t r e ψ-ψ=hr r ,得******()2 [()()()()]2 [()()()()]2i i i i Et Et Et Et i J mi r e r e r e r e mi r r r r mψψψψψψψψ----=ψ∇ψ-ψ∇ψ=∇-∇=∇-∇h h h hr hh r r r r h r r r r （）（） 可见t J 与ρ无关。

2、2 由下列定态波函数计算几率流密度:ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解:在球坐标中11sin r e e e r r r θφθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂r r v 所以,12r J J e r r v和只有方向分量。

**111112223(1) ()21111 [()()]2111111 [()()]2 ikr ikr ikr ikr rrri J mi e e e e e m r r r r r ri ik ik e m r r r r r r k k e r mr mrψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂=----+==r h h vh vh h rv r J 1ρρ与同向,表示向外传播的球面波。

**22222223(2) ()21111 [()()]2111111 [()()]2 ikr ikr ikr ikr rrr i J mi e e e e e m r r r r r r i ik ik e m r r r r r r k k e rmr mrψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂=-+---=-=-r h h vh v h h rvr J ρρ与2反向,表示向内(即向原点) 传播的球面波。

2、3一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动,求粒子的能级与对应的波函数。

补充:设已知t=0时刻波函数为2,0(,0)0,0,x x x a x a ax x a ππ<<ψ=<>⎩,求 (,)x t ψ。

解:t x U 与)(无关,就是定态问题。

其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dxd m ψψψ=+-η 在各区域的具体形式为Ⅰ: )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-<η① Ⅱ: )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤η② Ⅲ: )()()()(2 333222x E x x U x dx d m a x ψψψ=+->η③ 由于(1)、(3)方程中,由于∞=)(x U ,要等式成立,必须0)(1=x ψ 3()0x ψ= 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为 0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψη 令222ηmEk =,得 0)()(22222=+x k dx x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A 、B,由连续性条件,得 )0()0(12ψψ= ⑤)()(32a a ψψ= ⑥⑤0=⇒B⑥0sin =⇒ka A),3 ,2 ,1( 0sin 0ΛΘ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2= 由归一化条件1)(2=⎰dx x ψ得 1sin 022=⎰axdx an Aπ由三角函数正交性sinsin 2amn m n ax xdx a a ππδ*=⎰x an a x aA πψsin 2)(22=∴=⇒222ηΘmEk = ),3,2,1( 22222Λη==⇒n n ma E n π可见E 就是量子化的。