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2017届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(解析版)

2017届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(解析版)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知集合A={x∈Z|x≥2},B={x|(x﹣1)(x﹣3)<0},则A∩B=()A.∅B.{2}C.{2,3}D.{x|2≤x<3}2.若复数z满足(1+i)z=i(i是虚数单位),则z的虚部为()A.B.﹣ C.i D.﹣3.某校共有在职教师200人,其中高级教师20人,中级教师100人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研,则抽取的初级教师的人数为()A.25 B.20 C.12 D.54.“a=1”是“直线l1:ax+(a﹣1)y﹣1=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣3=0垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某风险投资公司选择了三个投资项目,设每个项目成功的概率都为,且相互之间设有影响,若每个项目成功都获利20万元,若每个项目失败都亏损5万元,该公司三个投资项目获利的期望为()A.30万元B.22.5万元C.10万元D.7.5万元6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于()A.2 B.3 C.4 D.57.若一个三位自然数的各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们把这样的三位自然数定义为“单重数”,例:112,232,则不超过200的“单重数”个数是()A.19 B.27 C.28 D.378.过点P(2,1)的直线l与函数f(x)=的图象交于A,B两点,O为坐标原点,则=()A.B.2 C.5 D.109.已知cosα,sinα是函数f(x)=x2﹣tx+t(t∈R)的两个零点,则sin2α=()A.2﹣2B.2﹣2 C.﹣1 D.1﹣10.设F1,F2分别为双曲线C:的两个焦点,M,N是双曲线C的一条渐近线上的两点,四边形MF1NF2为矩形,A为双曲线的一个顶点,若△AMN的面积为,则该双曲线的离心率为()A.3 B.2 C.D.11.已知点P(﹣2,)在椭圆C: +=1(a>b>0)上,过点P作圆C:x2+y2=2的切线,切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是()A.13 B.14 C.15 D.1612.已知f(x)=e x,g(x)=lnx,若f(t)=g(s),则当s﹣t取得最小值时,f (t)所在区间是()A.(ln2,1)B.(,ln2)C.(,)D.(,)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.()5的展开式的常数项为.14.已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和,现让他们独立地破译这种密码,则至少有1人能译出密码的概率为.15.已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1:(x+1)2+(y﹣2)2=1相交于A,B两点,点P是圆C2:(x﹣3)2+y2=5上的动点,则△PAB面积的最大值是.16.已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,过点P(﹣1,0)作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,直线AF,BF分别交抛物线C于M,N两点,若+=18,则k=.三、解答题(共5小题,满分60分)17.(12分)数列{a n}中,a n+2﹣2a n+1+a n=1(n∈N*),a1=1,a2=3..(1)求证:{a n+1﹣a n}是等差数列;(2)求数列{}的前n项和S n.18.(12分)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a<b<c,C=2A.(1)若c=a,求角A;(2)是否存在△ABC恰好使a,b,c是三个连续的自然数?若存在,求△ABC的周长;若不存在,请说明理由.19.(12分)2016年下半年,锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛,以增强直属单位间的交流与合作,阻值方统计了来自A1,A2,A3,A4,A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分,如表所示:(1)根据表中数据,求y关于x的线性回归方程;(系数精确到0.01)(2)若M队平均身高为185cm,根据(I)中所求得的回归方程,预测M队的平均得分(精确到0.01)注:回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为,.20.(12分)已知椭圆C:的右焦点F(),过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点(1,0)的直线l交椭圆C于P,Q两点,N点在直线x=﹣1上,若△NPQ是等边三角形,求直线l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=+lnx﹣1(m∈R)的两个零点为x1,x2(x1<x2).(1)求实数m的取值范围;(2)求证: +>.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)已知曲线C的参数方程是(α为参数)(1)将C的参数方程化为普通方程;(2)在直角坐标系xOy中,P(0,2),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0,Q为C上的动点,求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣t|(t∈R)(1)t=2时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于任意的t∈[1,2],x∈[﹣1,3],f(x)≥a+x恒成立,求实数a的取值范围.2017届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知集合A={x∈Z|x≥2},B={x|(x﹣1)(x﹣3)<0},则A∩B=()A.∅B.{2}C.{2,3}D.{x|2≤x<3}【考点】交集及其运算.【分析】化简集合B,根据交集的定义写出A∩B即可.【解答】解:集合A={x∈Z|x≥2},B={x|(x﹣1)(x﹣3)<0}={x|1<x<3},则A∩B={2}.故选:B.【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.2.若复数z满足(1+i)z=i(i是虚数单位),则z的虚部为()A.B.﹣ C.i D.﹣【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由(1+i)z=i,得,再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,则答案可求.【解答】解:由(1+i)z=i,得=,则z的虚部为:.故选:A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.某校共有在职教师200人,其中高级教师20人,中级教师100人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研,则抽取的初级教师的人数为()A.25 B.20 C.12 D.5【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论.【解答】解:∵初级教师80人,∴抽取一个容量为50的样本,用分层抽样法抽取的初级教师人数为,解得n=20,即初级教师人数应为20人,故选:B.【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.4.“a=1”是“直线l1:ax+(a﹣1)y﹣1=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣3=0垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可.【解答】解:若直线l1:ax+(a﹣1)y﹣1=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣3=0垂直,则:a(a﹣1)+(a﹣1)(2a+3)=0,解得:a=1或﹣1,故“a=1”是“直线l1:ax+(a﹣1)y﹣1=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣3=0垂直”的充分不必要条件,故选:A.【点评】本题考查了充分必要条件,考查直线的垂直关系,是一道基础题.5.某风险投资公司选择了三个投资项目,设每个项目成功的概率都为,且相互之间设有影响,若每个项目成功都获利20万元,若每个项目失败都亏损5万元,该公司三个投资项目获利的期望为()A.30万元B.22.5万元C.10万元D.7.5万元【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】设该公司投资成功的个数为X,则X~B.进而得出.【解答】解:设该公司投资成功的个数为X,则X~B.∴E(X)==.∴该公司三个投资项目获利的期望==22.5万元.故选:B.【点评】本题考查了二项分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:当n=1时,a=,b=4,满足进行循环的条件,当n=2时,a=,b=8满足进行循环的条件,当n=3时,a=,b=16满足进行循环的条件,当n=4时,a=,b=32不满足进行循环的条件,故输出的n值为4,故选C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.7.若一个三位自然数的各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们把这样的三位自然数定义为“单重数”,例:112,232,则不超过200的“单重数”个数是()A.19 B.27 C.28 D.37【考点】进行简单的合情推理.【分析】根据“单重数”的定义,分类讨论,即可得出结论.【解答】解:由题意,不超过200,两个数字一样为0,有2个,两个数字一样为1,110,101,112,121,113,131,114,141,115,151,116,161,117,171,118,181,119,191,有18个,两个数字一样为2,122,有一个,同理两个数字一样为3,4,5,6,7,8,9,各1个,综上所述,不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28,故选C.【点评】本题考查合情推理,考查计数原理的运用,正确分类讨论是关键.8.过点P(2,1)的直线l与函数f(x)=的图象交于A,B两点,O为坐标原点,则=()A.B.2 C.5 D.10【考点】平面向量数量积的运算.【分析】f(x)==1+,可得函数f(x)=的图象关于点P(2,1)对称,过点P(2,1)的直线l与函数f(x)=的图象交于A,B两点,A,B两点关于点P(2,1)对称⇒=即可.【解答】解:f(x)==1+,∴函数f(x)=的图象关于点P(2,1)对称,∴过点P(2,1)的直线l与函数f(x)=的图象交于A,B两点,A,B两点关于点P(2,1)对称,∴,则=,||=,∴则=2×5=10.故选:D.【点评】本题考查了函数的对称性及向量的运算,属于中档题.9.已知cosα,sinα是函数f(x)=x2﹣tx+t(t∈R)的两个零点,则sin2α=()A.2﹣2B.2﹣2 C.﹣1 D.1﹣【考点】三角函数的化简求值;函数的零点与方程根的关系.【分析】通过韦达定理可求sinα+cosα=t,sinαcosα=t,利用sin2α+cos2α=1,则可得答案.【解答】解:∵cosα,sinα是函数f(x)=x2﹣tx+t(t∈R)的两个零点,∴sinα+cosα=t,sinαcosα=t,由sin2α+cos2α=1,得(sinα+cosα)2﹣2sinαcosα=1,即t2﹣2t=1,解得t=.∴sin2α=2sinαcosα=2t=.故选:A.【点评】本题考查三角函数化简求值,注意同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力,是基础题.10.设F1,F2分别为双曲线C:的两个焦点,M,N是双曲线C的一条渐近线上的两点,四边形MF1NF2为矩形,A为双曲线的一个顶点,若△AMN的面积为,则该双曲线的离心率为()A.3 B.2 C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】设M(x,x),由题意,|MO|=c,则x=a,∴M(a,b),利用△AMN的面积为,建立方程,即可求出双曲线的离心率.【解答】解:设M(x,x),由题意,|MO|=c,则x=a,∴M(a,b),∵△AMN的面积为,∴,∴4a2(c2﹣a2)=c4,∴e4﹣4e2+4=0,∴e=.故选D.【点评】本题考查双曲线的离心率,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.11.已知点P(﹣2,)在椭圆C: +=1(a>b>0)上,过点P作圆C:x2+y2=2的切线,切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是()A.13 B.14 C.15 D.16【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意,以OP为直径的圆的方程为(x+1)2+(y﹣)2=,与圆C:x2+y2=2相减,可得直线AB的方程,求出c,再利用点P(﹣2,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,求出a2=8,b2=7,即可求出a2+b2的值.【解答】解:由题意,以OP为直径的圆的方程为(x+1)2+(y﹣)2=.与圆C:x2+y2=2相减,可得直线AB的方程为2x﹣y+2=0,令y=0,可得x=﹣1,∴c=1,∵=1,∴a2=8,b2=7,∴a2+b2=8+7=15,故选C.【点评】本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12.已知f(x)=e x,g(x)=lnx,若f(t)=g(s),则当s﹣t取得最小值时,f (t)所在区间是()A.(ln2,1)B.(,ln2)C.(,)D.(,)【考点】指数函数的图象与性质.【分析】求出s﹣t=e a﹣lna,(a>0),令h(a)=e a﹣,求出h(a)的最小值,验证即可.【解答】解:令f(t)=g(s)=a,即e t=lns=a>0,∴t=lns,s=e a,∴s﹣t=e a﹣lna,(a>0),令h(a)=e a﹣,则h′(a)=e a﹣,∵y=e a递增,y=递减,故存在唯一a=a0使得h′(a)=0,0<a<a0时,e a<,h′(a)<0,a>a0时,e a>,h′(a)>0,∴h(a)min=h(a0),即s﹣t取最小值是时,f(t)=a=a0,由零点存在定理验证﹣=0的根的范围:a0=时,﹣<0,a0=ln2时,﹣>0,故a0∈(,ln2),故选:B.【点评】本题考查了函数的零点问题,考查函数的单调性以及导数的应用,是一道中档题.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(x2+1)()5的展开式的常数项为﹣11.【考点】二项式定理的应用.【分析】把()5按照二项式定理展开,可得(x2+1)()5的展开式的常数项.【解答】解:由于(x2+1)()5=(x2+1)(﹣+﹣+﹣1),故展开式的常数项为﹣10﹣1=﹣11,故答案为:﹣11.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.14.已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和,现让他们独立地破译这种密码,则至少有1人能译出密码的概率为.【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【分析】至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码,由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率.【解答】解:甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和,现让他们独立地破译这种密码,至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码,∴至少有1人能译出密码的概率:p=1﹣(1﹣)(1﹣)=.故答案为:.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用.15.已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1:(x+1)2+(y﹣2)2=1相交于A,B两点,点P是圆C2:(x﹣3)2+y2=5上的动点,则△PAB面积的最大值是3.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意,直线恒过定点(﹣1,2),即C1圆的圆心,|AB|=2,圆心C2到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为=2,可得P到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为3,即可求出△PAB面积的最大值.【解答】解:由题意,直线恒过定点(﹣1,2),即C1圆的圆心,|AB|=2圆心C2到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为=2,∴P到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为3,∴△PAB面积的最大值是3=3,故答案为3.【点评】本题考查直线过定点,考查点到直线的距离公式,考查三角形面积的计算,属于中档题.16.已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,过点P(﹣1,0)作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,直线AF,BF分别交抛物线C于M,N两点,若+=18,则k=.【考点】直线与抛物线的位置关系.【分析】由题意,图形关于x轴对称,A,B,P三点共线,可得=.由焦半径公式|AF |=x 1+1=|NF |,||BF |=x 2+1=|MF |,+=+=18,(y 1+y 2)2=20y 1y 2,再利用韦达定理,即可得出结论.【解答】解:由题意,图形关于x 轴对称,A ,B ,P 三点共线,可得=.由焦半径公式|AF |=x 1+1=|NF |,||BF |=x 2+1=|MF |,∴+=+=18,∴(y 1+y 2)2=20y 1y 2,由,可得ky 2﹣4y +4k=0,∴y 1+y 2=,y 1y 2=4,∴ =80,∵k >0,∴k=.故答案为.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题(共5小题,满分60分)17.(12分)(2017•绵阳模拟)数列{a n }中,a n +2﹣2a n +1+a n =1(n ∈N *),a 1=1,a 2=3..(1)求证:{a n +1﹣a n }是等差数列;(2)求数列{}的前n 项和S n .【考点】数列的求和.【分析】(1)令c n =a n +1﹣a n ,通过c n +1﹣c n =1,说明{a n +1﹣a n }是以2为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知c n =n +1,求出a n ,化简==2(﹣).利用裂项求和求解即可.【解答】解:(1)证明:令c n =a n +1﹣a n ,则c n +1﹣c n =(a n +2﹣a n +1)﹣(a n +1﹣a n )=a n +2﹣2a n +1+a n =1(常数),c1=a2﹣a1,=2,﹣a n}是以2为首项,1为公差的等差数列.…(4分)故{a n+1(2)由(1)知c n=n+1,即a n+1﹣a n=n+1,于是a n=(a n﹣a n﹣1)﹣(a n﹣1﹣a n﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1==n+(n﹣1)+…+2+1=,…(8分)故==2(﹣).∴S n=2(1﹣)+2(﹣)+2(﹣)+…+2(﹣)=2(1﹣)=.…(12分)【点评】本题考查数列求和,等差数列的判断,考查计算能力.18.(12分)(2017•绵阳模拟)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a<b<c,C=2A.(1)若c=a,求角A;(2)是否存在△ABC恰好使a,b,c是三个连续的自然数?若存在,求△ABC的周长;若不存在,请说明理由.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由正弦定理有sinC=sinA,又C=2A,利用倍角公式可求2sinAcosA=sinA,结合sinA≠0,可得cosA=,即可得解A的值.(2)设a=n,b=n+1,c=n+2,n∈N*.由已知利用二倍角公式可求cosA=,由余弦定理得=,解得n=4,求得a,b,c的值,从而可求△ABC的周长.【解答】(本题满分为12分)解:(1)∵c=a,∴由正弦定理有sinC=sinA.…(2分)又C=2A,即sin2A=sinA,于是2sinAcosA=sinA ,…(4分)在△ABC 中,sinA ≠0,于是cosA=,∴A=. …(6分)(2)根据已知条件可设a=n ,b=n +1,c=n +2,n ∈N*. 由C=2A ,得sinC=sin2A=2sinAcosA , ∴cosA=. …(8分)由余弦定理得=,代入a ,b ,c 可得:=,…(10分)解得n=4,∴a=4,b=5,c=6,从而△ABC 的周长为15,即存在满足条件的△ABC ,其周长为15. …(12分)【点评】本题主要考查了正弦定理,二倍角公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.19.(12分)(2017•绵阳模拟)2016年下半年,锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛,以增强直属单位间的交流与合作,阻值方统计了来自A 1,A 2,A 3,A 4,A 5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分,如表所示:(1)根据表中数据,求y 关于x 的线性回归方程;(系数精确到0.01)(2)若M 队平均身高为185cm ,根据(I )中所求得的回归方程,预测M 队的平均得分(精确到0.01) 注:回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为,.【考点】线性回归方程.【分析】(1)求出样本中心点,利用最小二乘法得到线性回归方程的系数,得到线性回归方程;(2)当x=185代入回归直线方程,即可预测M队的平均得分.【解答】解:(1)由已知有=176,=66,=≈0.73,=﹣62.48,∴y=0.73x﹣62.48.…(10分)(2)x=185,代入回归方程得y=0.73×185﹣62.48=72.57,即可预测M队的平均得分为72.57.…(12分)【点评】本题考查采用最小二乘法,求线性回归方程及线性回归方程的简单应用,考查计算能力,属于基础题.20.(12分)(2017•绵阳模拟)已知椭圆C:的右焦点F(),过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点(1,0)的直线l交椭圆C于P,Q两点,N点在直线x=﹣1上,若△NPQ是等边三角形,求直线l的方程.【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.【分析】(Ⅰ)设椭圆C的焦半距为c,则c=,于是a2﹣b2=6.把x=c代入椭圆的标准方程可得:y=,即=,联立解出即可得出.(Ⅱ)设直线PQ:x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2).联立直线与椭圆方程可得:(t2+4)y2+2ty﹣7=0,利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆C的焦半距为c,则c=,于是a2﹣b2=6.把x=c代入椭圆的标准方程可得:=1,整理得y2=b2(1﹣)=,解得y=,∴=,即a2=2b4,∴2b4﹣b2﹣6=0,解得b2=2,或b2=﹣(舍去),进而a2=8,∴椭圆C的标准方程为+=1.(Ⅱ)设直线PQ:x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2).联立直线与椭圆方程:,消去x得:(t2+4)y2+2ty﹣7=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=.于是x1+x2=t(y1+y2)+2=,故线段PQ的中点D.设N(﹣1,y0),由|NP|=|NQ|,则k ND•k PQ=﹣1,即=﹣t,整理得y0=t+,得N.又△NPQ是等边三角形,∴|ND|=|PQ|,即,即+=,整理得=,解得t2=10,t=,∴直线l的方程是x﹣1=0.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.21.(12分)(2017•绵阳模拟)已知函数f(x)=+lnx﹣1(m∈R)的两个零点为x1,x2(x1<x2).(1)求实数m的取值范围;(2)求证: +>.【考点】函数零点的判定定理.【分析】(1)求导数,分类讨论,利用函数f(x)=+lnx﹣1(m∈R)的两个零点,得出ln2m﹣<0,即可求实数m的取值范围;(2)由题意方程m=有两个根为t1,t2,不妨设t1=,t2=,要证明+>,即证明t1+t2>,即证明h(t1)<h(﹣t2).令φ(x)=h(x)﹣h(﹣x),证明φ(x)<0对任意x∈(0,)恒成立即可.【解答】(1)解:f′(x)=.①m≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,不可能有两个零点;②m>0,f′(x)>0可解得x>2m,f′(x)<0可解得0<x<2m,∴f(x)在(0,2m)上单调递减,在(2m,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(2m)=ln2m﹣,由题意,ln2m﹣<0,∴0<m<;(2)证明:令t=,f()=mt﹣2lnt﹣1=0,由题意方程m=有两个根为t1,t2,不妨设t1=,t2=.令h(t)=,则h′(t)=﹣,令h′(t)>0,可得0<t<,函数单调递增;h′(t)<0,可得t>,函数单调递减.由题意,t1>>t2>0,要证明+>,即证明t1+t2>,即证明h(t1)<h(﹣t2).令φ(x)=h(x)﹣h(﹣x),下面证明φ(x)<0对任意x∈(0,)恒成立,φ′(x)=+,∵x∈(0,),∴﹣lnx﹣1>0,x2<,∴φ′(x)>>0,∴φ(x)在(0,)上是增函数,∴φ(x)<φ()=0,∴原不等式成立.【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明.难度大.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)(2017•绵阳模拟)已知曲线C的参数方程是(α为参数)(1)将C的参数方程化为普通方程;(2)在直角坐标系xOy中,P(0,2),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0,Q 为C 上的动点,求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)消去参数,将C 的参数方程化为普通方程;(2)将直线l 的方程化为普通方程为x +y +2=0.设Q (cosα,sinα),则M (cosα,1+sinα),利用点到直线的距离公式,即可求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值.【解答】解:(1)消去参数得,曲线C 的普通方程得=1. …(2)将直线l 的方程化为普通方程为x +y +2=0.设Q (cosα,sinα),则M (cosα,1+sinα),∴d==,∴最小值是.…(10分) 【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.(2017•绵阳模拟)已知函数f (x )=|x ﹣1|+|x ﹣t |(t ∈R )(1)t=2时,求不等式f (x )>2的解集;(2)若对于任意的t ∈[1,2],x ∈[﹣1,3],f (x )≥a +x 恒成立,求实数a 的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.【分析】(1)通过讨论x 的范围,去掉绝对值解关于x 的不等式,求出不等式的解集即可;(2)问题等价于a ≤f (x )﹣x ,令g (x )=f (x )﹣x ,求出g (x )的最小值,从而求出a 的范围即可.【解答】解:(1)当t=2时,f (x )=|x ﹣1|+|x ﹣2|,若x ≤1,则f (x )=3﹣2x ,于是由f (x )>2,解得x <,综合得x <;若1<x<2,则f(x)=1,显然f(x)>2不成立;若x≥2,则f(x)=2x﹣3,于是由f(x)>2,解得x>,综合得x>∴不等式f(x)>2的解集为{x|x<,或x>}.(2)f(x)≥a+x等价于a≤f(x)﹣x,令g(x)=f(x)﹣x,当﹣1≤x≤1时,g(x)=1+t﹣3x,显然g(x)min=g(1)=t﹣2,当1<x<t时,g(x)=t﹣1﹣x,此时g(x)>g(1)=t﹣2,当t≤x≤3时,g(x)=x﹣t﹣1,g(x)min=g(1)=t﹣2,∴当x∈[1,3]时,g(x)min=t﹣2,又∵t∈[1,2],∴g(x)min≤﹣1,即a≤﹣1,综上,a的取值范围是a≤﹣1.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查函数最值问题,考查分类讨论思想,是一道中档题.。

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