周期函数与其导函数周期相同的一个条件
摘要：周期函数与导函数的周期可以保持不变，但并非完全相同，须满足一定的条件，它们才能够相同。
关键词：可微；原函数；导函数；周期性
命题：可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数。
我们讨论的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函数的周期一定是导函数的周期；反之，导函数的周期一定是原函数的周期），或者二者最小正周期相同。
文献1中给出的“证明”，是由f（x+T）=f（x）得f‟（x+T）=f‟（x）[1]，这只能说明原函数的最小正周期T是导函数的一个周期，即对导函数的最小正周期T …而言，有T=KT …（K为正整数）.至于T是否为导函数的一个周期，即：是否T=T …，并未得证，尚需证T …一定也是原函数f（x）的一个周期：f（x+T …）=f（x），才有T=T ….许多书上的证明多是如此。
本文将指出：可微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同；同时，给出一个周期相同的一个充分条件。
1 现举一反例
我们约定J表示整数集合，R表示实数集合，E（x）表示不超过x的最大整数。
例1 设，考察定义在D上的函数f（x）=x-E（x）.
与正切函数类似，虽然f（x）在R上有可列间断点，但f（x）在其定义域D中每点连续可微.
首先，1/2不会是f（x）的周期，这只要取x0=k+1/4，有x0∈D，f（x0）=1/4；
x0+1/2=k+3/4∈D，f（x0+1/2）=3/4，便有f（x0+1/2）≠f（x0）.
f（x）的导函数f …（x）=1，1/2是f …（x）的一个周期.因为，对任意x ∈D，x+1/2∈D，f‟（x）= f …（x+1/2）=1.
这样，我们已经得到f（x）与f …（x）周期集合不同，自然，最小正周期就不会相同.当然，我们也可以分别证明，f（x）最小正周期为1，f …（x）最
小正周期为1/2.
通过f（x）与f …（x）的图像来对比，结论也是非常明显的（如图1）
图1
例2设D={x|x∈R-J}.考察定义在D中的函数
同样，f（x）的导函数f …（x）=2[x-E（x）],x∈D
可以例1一样，验证1是f …（x）的周期而不是f（x）的周期，从而二者周期不同.不过，现在我们采用另外的办法，证明f（x）的最小正周期为2，而f …（x）的一个周期为1，则f …（x）的最小正周期T …≤1，便有T …≤1≤2=T，即T …=T.
对任意x∈D，有x+2∈D，且
可知，2是f（x）的一个周期.再证任何一个小于2的正整数ε不会是f （x）的周期.
若ε=1，对任意x∈D，也有x+1∈D，但
若ε≠1,0<ε<2,不会对一切x∈D,有f（x+ε）= ff（x）.比如，对x=2-ε∈D，因x+ε=2-ε+ε=2 D，便不会有f（x+ε）= f（x）.
故f（x）的最小正周期T=2.
再看导函数f …（x）=2[x-E（x）] .
对任意x∈D，有x+1∈D，且
于是，若T …为f …（x）的最小正周期，有
T …≤1≤2=T.
图2
类似的例子还可举出很多。
总之，在定义域内每点可微的周期函数与其导函数的最小正周期并非总是相同。
至于周期相同的例子则处处可见，本文不再例举，现只给出周期相同的一个充分条件。
2 周期相同的一个充分条件
反例给我们提示，在整个R中可微的周期函数与其导函数很可能周期必然相同.
引理1 任意一个非常值连续周期函数必有最小正周期[2].
引理2 对具有最小正周期T 的周期函数f（x），若T …也是f（x）的一个正周期，则T …=KT（K为正整数）[3].
定理非常值周期函数f（x）在R上有定义且在每点存在连续导函数f …（x）.则f …（x）也为周期函数，并且f（x）与f …（x）周期相同[4].
证明可微必连续，由引理1，f（x）就有最小正周期，设为T，即对任意x∈R，有
f（x+T）= f（x）
求导
f …（x+T）= f …（x）（1）
可见，f …（x）也是R上的周期函数，又f …（x）已知连续，再由引理1，f …（x）也必有最小正周期T ….由（1）式，T是f …（x）的一个周期，据引理2，T=KT …（K为正整数）.
下面，要证K=1.
因f …（x）连续，对任意x0∈R，据牛顿-来卜尼兹公式，得
由积分域可加性，有
（2）
运用积分替换t=u+（i-1）T …，并由T …是f …（x）的周期，得：
（2）式变为：
再由牛顿-来卜尼兹公式，
知T …是f（x）的一个周期，由引理2，
T …=mT,T …=m（KT …）（m为正整数）
故mK=1，但m,K均为正整数，故
m=K=1 即得T=T …
f（x）与f ...（x）最小正周期相同或周期的集合相等，即f（x）与f (x)
周期相同.
3 结束语
通过以上讨论可知可微的周期函数与导函数的周期不尽相同，以后我们研究这方面的问题，不能简单地对二者周期进行互换。
如果直接解决问题有麻烦，就需要换个角度寻求满足互换的特定条件，问题得以解决。
参考文献：
[1] 黄定晖，周学圣.数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社.
[2] 于先金.关于原函数与其导函数对称性的联系.中学数学研究.
[3] 苏立标.关注导函数的周期性与奇偶性.数学教学研究.
[4] 肖玉民.高等教学（上）[M].辽宁省师范（高职高专院校）初等（学前）教育专业教材.。