二轮专题——直线与圆锥曲线的位置关系综合应用【目标】掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会综合应用知识处理相关问题。

【重点】直线与圆锥曲线中的最值、值域、参数范围问题，定点、定值以及探究性问题。

【难点】圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的的综合应用. 【知识与方法】圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，解决此类问题需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。

如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。

2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值或值域. 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解. 【基础训练】1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ）A 、5B 、10C 、9D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A 、)33,33(-B 、)3,3(-C 、⎥⎦⎤⎝⎛-0,33D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ）A 、双曲线x 2-y 2=1 B 、双曲线x 2-y 2=1的右支 C 、半圆x 2+y 2=1(x<0) D 、一段圆弧x 2+y 2=1(x>22)4、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为5、椭圆191622=+yx在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBOS 四边形的最大值为题型一、最值及值域问题例1.【广东省梅州市2013届高三总复习质检】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)y x a b ab+=>>的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：24x y =的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3MF =。

（1）求椭圆C 1的方程； （2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线y ＝kx （k ＞0）与AB 相交于点D ，与椭圆C 1相交于点E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。

【跟踪训练1】【广东省肇庆市2013届高三一模】已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3e =，直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切.（1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0=⋅RS QR ，求||Q S的取值范围.题型二：定点、定值问题例2.【湖北省八市2013届高三3月调考】已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，且,A C B C 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠．（Ⅰ）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线； （Ⅱ）当12m =-时，过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (,M Q 不重合)．求证直线M Q 与x 轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．例3.【北京市朝阳区2013届高三一模】已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>过点(2,0)A ,2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线A E ，A F 分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段M N 的中点为P .记直线P B 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.【跟踪训练2】【浙江省金华十校2013届高三联考】题型三：圆锥曲线中的探究性问题例 4.【京市西城区2013届高三一模】如图，已知椭圆22143xy+=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段A B 的中点为G ，A B 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点． （Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线A B 的斜率；（Ⅱ）记△G FD 的面积为1S ，△O ED （O 为原点）的面 积为2S ．试问：是否存在直线A B ，使得12S S =？说明理由．【跟踪训练3】【福建省厦门市2013届高三3月质量检查】已知圆22:34O x y +=，椭圆22:1259xyC +=． （Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段O P 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标； （Ⅱ）现有如下真命题：“过圆222253x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”； “过圆222247x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222147x y+=的两条切线，则这两条切线互相垂直”． 据此,写出一般结论，并加以证明．【练习与作业】相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OB OA OP +=，证明FQ OP .为定值并求出该值.2.【湖北省荆州市2013届高三3月第二次质量检查】已知圆Ｃ：＝８及点Ｆ（１，０），Ｐ为圆Ｃ上一动点，在同一坐标平面内的动点Ｍ满足：,││＝││．（１）求动点Ｍ的轨迹Ｅ的方程；（２）过点Ｆ作直线l 与（１）中轨迹Ｅ交于不同两点Ｒ，Ｓ，设＝λ，λ∈［－２，－１），求直线l 的纵截距的取值范围．3.【福建省南平市2013届高三毕业班质量检查】如图，设椭圆C :12222=+by ax （0a b >>）的离心率2e =M 、N 的距离O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B两点.（ⅰ）试判断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由； （ⅱ）求AB 的最小值.【课题】直线与圆锥曲线的位置关系综合应用参考答案【基础训练】1、B 2、C 3、B 4、12003。

5、26 设P(4cos ϕ,3sin ϕ)(0<ϕ<2π))4(26)cos (sin 6cos 4321sin 3421πϕϕϕϕϕ+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆sn S S S OBP OAP APBO四边形，当ϕ=4π时,APBOS 四边形的最大值为26 【例1】【跟踪训练1】解：（1）椭圆的方程是221:132xyC +=. （4分）（2）由条件，知2||||M F M P =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=. （7分）（3）由（2），知(0,0)Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ，得()()222121121016y yy y y y -+-=，∵12y y ≠，∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴222121256323264y y y=++≥=，当且仅当2121256y y=，即14y =±时等号成立.（11分）又||Q S =（12分）∵2264y ≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||QS =（13分）故||Q S的取值范围是)⎡+∞⎣. （14分）【例2】（Ⅰ）由题知：11y y m x x-+⋅= ，化简得：221(0)m x y x -+=≠ …………2分当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点； ……………………………6分 （Ⅱ）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+， 代入221(0)2xy x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-=12222ty y t -+=+，12212y y t -=+， ………………………………9分又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++故直线MQ 过定点(2,0). ……………………………13分 解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =- 代入221(0)2xy x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-=2122412kx x k+=+,21222212k x x k -=+， ……………………………9分Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-∴直线MQ 过定点(2,0) ……………………………13分【例3】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2214xy +=. …4分（Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141kk x x x x k k -+==++.直线A E ，A F 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y y P x x +--.所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯--21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k kk k k k k --+++=⨯--+++2241444kk -=⨯=-. ……………14分 【跟踪训练2】【例4】（Ⅰ）解：依题意，直线A B 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ……1分将其代入22143xy+=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=． ……3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2122843kx x k -+=+． ……4分故点G 的横坐标为21224243x x kk +-=+．依题意，得2241434kk -=-+， 解得 12k =±． 7分（Ⅱ）解：假设存在直线A B ，使得 12S S =，显然直线A B 不能与,x y轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343kkG k k -++． ……8分因为 D G A B ⊥，所以2223431443D kk k kx k +⨯=---+， 解得 2243D kx k -=+， 即 22(,0)43kD k -+． 因为 △G FD ∽△O ED ，所以 12||||S S G D O D =⇔=． ………11分所以2243kk -+， ………12分整理得 2890k +=． 因为此方程无解，所以不存在直线A B ，使得 12S S =． ………14分【跟踪训练3】解：本题考查直线，圆，椭圆等基础知识，考查运算求解能力，类比、探究归纳能力，考查数形结合思想，化归与转化思想．满分14分．（Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=， （1） ……………………1分设线段O P 的垂直平分线与O P 相交于点M ，则M 00(,)22x y ，……2分椭圆22:1259xyC +=的右焦点(4,0)F ， M F O P ⊥Q ,∴1O P M F k k ⋅=-，∴002142y y x x -⋅=--， ∴2200080y x x +-=， （2）……………4分由（1），（2），解得0174x =，∴点P 的横坐标为174．…5分（Ⅱ）一般结论为：“过圆2222x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22221x y ab+=的两条切线，则这两条切线互相垂直．”…6分 证明如下：（ⅰ）当过点Q 与椭圆22221x y ab+=相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x a =±，Q 点Q 在圆2222x y a b +=+上 ，∴(,)Q a b ±±，∴直线y b=±恰好为过点Q 与椭圆22221x y ab+=相切的另一条切线，∴两切线互相垂直．……7分（ⅱ）当过点(,)Q m n 与椭圆22221x y ab+=相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为()y n k x m -=-，由22221,(),x y ab y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-=， 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--=，…9分Q 直线与椭圆相切，∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--=，整理得()()2222220makmnk n b--+-=，……11分∴221222n bk k m a-=-， 点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上，∴2222m n a b +=+，……13分∴2222m a b n -=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………14分【练习与作业】 1.2.3. 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2214xy +=………4分（Ⅱ）解法一：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值………5分设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AO B ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =，将x y =代入1422=+y x，解得552±=x所以点O 到直线AB 的距离为552=d ；………6分② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与椭圆C ：2214xy +=联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+………8分 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k ，所以2222222448(1)1414m k m k m kk-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB的距离d =5=综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅ 又因为OB OA ⋅2≤222ABOBOA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2………13分所以AB≥25A B d ≥=OB OA =时取等号，即AB 的最小值是554………14分解法二：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值，设()00,y x A ,①当直线OA 的斜率为0时，2=OA ，1=OB ，此时552=⋅=ABOB OA d同理，当直线OA 的斜率不存在时，552=d ………6分②当直线OA 的斜率存在且不为0时，设直线OA 的方程为kx y +=与椭圆C ：2214xy +=联立，解得144220+=k x ， 14)1(4)1(222202++=+=k k k x OA………8分同理，4)1(4222++=k k OB，所以451122=+OBOA………10分所以552=⋅ABOB OA ，即552=d ，综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）4174)1(202422222+++=+=k k k OBOAAB………12分21942012942022242+++=+++=kk k k k≥51649420=+………13分当且仅当221kk=，即1±=k 时，AB的最小值是554………14分。