2020年普通高考数学科一轮复习精品学案第34讲直线与圆锥曲线的位置关系一•课标要求：1 •通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2 •掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。
二.命题走向近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。
分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。
预测2020年高考：1 •会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2 •与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。
三•要点精讲1 .点M(x0, y0)与圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系2 •直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。
9直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。
因为 方程组解的个数与交点的个数是一样的。
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离•对于抛物线来说，平行于对称 轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双 曲线只有一个交点，但并不相切•这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：i 殳直线；血+By+c=o,圆ft 曲线C ：虬爲y)=0,消去y （或消古丈）得匕 az a -bbzH-c=0, A=b 2 -4ac, a^0_⑴相交：(2)A<0 « 相离;⑶A=0«相切.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件.3 •直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线:F(x,y)=0，它们的交点为 P i (x i ,y 1) , P 2 (x 2,y 2),且由F (X ，y) 0，消去 厂ax 2+bx+c=0 (0) , △ =b 2 — 4ac 。
y kx n则弦长公式为：d=J (x , X 2)2 (% y 2)2=" k 2)% x ?)2 =。
| PF |焦点弦长：e (点P 是圆锥曲线上的任意一点， F 是焦点，d 是P 到相应于焦d点F 的准线的距离，e 是离心率)。
四•典例解析rj\x+By + C=0由/琳 y ）=0题型1：直线与椭圆的位置关系1，过左焦点F作倾斜角为一的直线交椭圆于A、B两点, 例1 .已知椭圆:69求弦AB 的长。
解析：a=3,b=1,c=2 --：：2，则 F (-2 2 , 0)。
设A( x^yj 、B(X 2,y 2)，则x n X 2是上面方程的二实根，由违达定理，X 1 x ?3、2 ,3 2――又因为A B F 都是直线|上的点,2所以 |AB|=」11| 为 X 2| 3 伍 1—x2P —4/X 2V 3J 3点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。
例2 .中心在原点，一个焦点为F ( 0,50 )的椭圆截直线 y 3x 2所得弦的中点横坐标1为丄，求椭圆的方程。
2由题意知：| : y1(x 2.2)与 L .391联立消去y 得：4x 2 12,2x 15 0。
15X 1 X 2, X M4x 1 x 2 2解析：设椭圆的标准方程为2 2笃每 1(a b 0)，由a bF 1 (0, 50 )得 a 2 b 2 50 把直线方程y 3x 2代入椭圆方程整理得：(a 2 9b 2)x 2 12『x b 2(4 a 2)0。
12b 21x 1 X 6b 21 X1X22又AB 的中点横坐标为一，2 2— a 9b22a 9b2a 23b 2，与方程2 2 2a b50联立可解出a75,b 2 252 2故所求椭圆的方程为： X y1。
75 25点坐标公式，求出中点的横坐标，再由 F (0，一 50 )知，c= •, 50 , a 2 b 250 ,最后解关于a 、b 的方程组即可。
例3.直线y 2k 与曲线9k 2x 2 y 218k 2 x(k R,且k 0)的公共点的个数为(A)1 (B)2(C)3 (D)4设弦的两个端点为 A(X 1，yjB(X 2, y 2)，则由根与系数的关系得:点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中解析：将y 2k 代入9k2x2y218k2x 得：9k2x24k218k2x。
9|xf 18 x 4 0，显然该关于|x|的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4 个，故选择答案D。
点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
例4.已知椭圆C的焦点分别为F l ( 2J2 , 0)和F2 (2、；'2 , 0),长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
x2y2解析：设椭圆C的方程为—2 1 ,a b由题意a=3, c=2 2，于是b=1.2x 2•••椭圆C的方程为 + y = 1.9得10x + 36x + 27= 0,1因为该二次方程的判别式A >0，所以直线与椭圆有两个不同的交点,设A (X1, y1), B (X2, y2),贝U X1 + X2 =9 1故线段AB的中点坐标为( ，一).5 5点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。
题型2 :直线与双曲线的位置关系2 2例5.("过点PC.7,5)与双曲线冷盘1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
(2)直线y kx 1与双曲线3x2 y21相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上?4解析：(1)解：若直线的斜率不存在时，则 x 、、7，此时仅有一个交点 G 7,0)，满足条件;时，方程无解，不满足条件;7字 时，2 5.7X 10 75方程有一解，满足条件;2-时，令 [14k(5 k..7)]2k 无解，所以不满足条件；4(25 7k 2)[(5 k 、、7)2 165]所以满足条件的直线有两条 x J 7和y2 2(2)把y kx 1代入3x y1整理得: 24 4a 2。
由>0得,6 a . 6且a . 3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。
若A 、B 在双曲线的同一支，须 x 1x 2 >0，所以a -.3或a .3。
a 3故当 6 a .3或,3 6时，A B 两点在同一支上；当 •、3 a 、. 3时，A 、B 两点在双曲线的两支上。
点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。
一种是与渐近线平行的两条与双曲线交 于一点的直线。
另一种是与双曲线相切的直线也有两条。
若直线的斜率存在时，设直线的方程为k(x 、_ 7)则 y kx 5 k 、7，(25 (kx 5 "2 *1 , 「25x 2257(kx 5 k 、.7)27 25，7k 2)x 27 2kx(5 k 「7)(5 k 、、7)2 7 250，当k 2化简得:2 2(3 a )x 2ax 20 (1)例5. (1)求直线yx 1被双曲线x 2亍1截得的弦长;2X 2 | j2j(X i X 2)2 4X 1X 2 血J 4k 4 k 2 4 4 k 2解析：由乞14x1得 4x 2（X 1)2 4 0 得 3X 2 2x 50 (*)设方程（*） 的解为Xi，X2，则有X i得,4 20（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点, 则设直线的方程为 y kX 1它被双曲线截得的弦为 AB 对应的中点为P （X ，y ），y kx 12y 1I4 得(4 k )x2kX 5设方程（ *）的解为X1，X24k 2 20(4 k 2)• 16k 280,|k| ,5 X1且X 22k4f X1X22(X1 X 2)扣1y 2)1(X1X 2) 12 2得4X y0(y4 或 y 0）。
方法二：设弦的两个端点坐标为A (X i , y 1),B (X 2, y 2) ，弦中点为 P（X,y ），则4X 2y 24得 :4(为X 2)(X 1 X 2) (y 1y 1 y 2 4( X X 2) y 4x X 1 X 2 y 1 y 2即x y 1丫2）（力 y 2）2 2即4x y y 0 （图象的一部分）4X 12 y 12 4点评：(1 )弦长公式|AB| J k |x , x 2|的两种处理方法。
例7 •过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离 心率的范围。
b 2x 2点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范 围往往与判别式的取值建立联系。
题型3 :直线与抛物线的位置关系2例&已知抛物线方程为y 2p(x 1)( p 0)，直线l : x y m 过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为 3,求p 的值。
解析：设I 与抛物线交于A(x i , y i ), B(X 2,y 2),则| AB | 3.点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实 数解则相离。
例9 .直线y =x — 1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是2 解析：设双曲线的方程为笃 a2yb 7 1(a K0,b 0) , F(c,0)，渐近线 y —x ，则过 Fa的直线方程为y-(x c )，则 bC)代入得(b 4a 4)x 2c 44 22, 4 c2a cx a c a b 0,即得 x 1x 2 0b 4 a 4,••• b a ，即得到 e 、、2。
由距离公式|AB|= (x X 2)2(% y 2)2 = 1 1 |y 1y 21 ■■ 2 | y 1 y 2 |,则有(％ y 2)2由x y 1殳消去x,得寸 y 2 2p(x 1).2pyp 2 0.(2p)2 4p 2 0.y 1y 22P ，y i y 2从而(y y 2)2 (y 1 y ?)2 Ayy,即(2p)24p 2由于p>0,解得p 卫p4| y i y 21; (2)有关中点弦问题答案：(3, 2)2 ___________解法一：设直线 y =x — 1与抛物线y =4x 交于A (x i , y i ), B(X 2, y 2),其中点为P(x o ,y o )。
x 1 x 2/、x o = -- =3. y o =x o — 1=2. /• P (3, 2)。