Xi
Yi
Si
级数
640
113.578 72690.022
7
620
40.807
25300.352
8
595
33.243
19779.305
9
565
29.844
16861.578
10
530
27.467
14557.367
11
490
25.393
12442.374
12
Xi
Yi
Si
445
23.352 10391.818
由于实际问题中在已知铁心柱外接圆直径时对级数的取值范围进行了限制，故可用规划
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的方法建立目标函数和约束条件[6]，然后采用解决规划问题功能强大的 LINGO 软件进行求 解，只需进行有限次的将级数带入模型比较运算结果，便得到期望的目标值。
i = 1, 2, 3,...,12. ；Yi 表示第 i 级的厚度，Yi = yi (Y1 = 2 y1) ， i = 2,3,...,12. Si 为整个外 接圆中每级截面的面积， Si = 2Si' (S1 = 4S1' ) ， i = 2,3,...,12.
级数
1 2 3 4 5 6
表 3 12 级时整圆每级钢片叠积尺寸及面积 Tab.3 the size and area of the sheet for circle, series 12
+
⎛ ⎜
i
yj
⎞2 ⎟
≤
R2
(6)
⎝ j=1 ⎠
由已知条件， 0 ≤ xi ≤ R, 0 ≤ yi ≤ R ，且由于要求第一级叠积最小厚度为 26 毫米，硅
钢片的最小宽度为
20
毫米，所有
y1
≥
1 × 26 2
= 13 ，
xi
≥
1 × 20 2
= 10
。
由图 2 可知，硅钢片的宽度随着级数的增加而递减，即
0 引言
电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。以心式铁心柱为 例，变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心 式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。阶梯形的每 级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为 5 的倍数（单位：毫米）。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作 用，所以一般要求第一级的厚度最小为 26 毫米，硅钢片的宽度最小为 20 毫米。在铁心直径 保持不变的情况下如何提高其有效截面积，具有十分显著的实际意义。这样不但降低损耗， 节省铜材，同时还缩小体积，降低铁心的饱和度，改善供电质量[1-3]。 在直径不变情况下提 高多级圆形铁心截面积的途径有两种：一种是提高心片的叠压系数；另一种是采用优化设计 的方法使其有效面积达到最大[4]。第一种方法由于受到工厂剪切、叠压等工艺条件的限制， 在一定工艺水平下的叠压系数基本上是一个常数，故本文将着重对第二种方法进行讨论。
由表 1 可知，当铁心柱外接圆直径为 650 毫米时，铁心柱截面的级数可采用 12、13 或 14 级。采用 LINGO10.0 进行编程，可得到要求各参数的数值。
当铁心截面级数为 12 时，每级钢片叠积尺寸及面积为
级数
1 2 3 4 5 6
xi
320.0 310.0 297.5 282.5 265.0 245.0
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（4）假设实际生产中硅钢片的厚度一定。
1.2 符号和记号说明
d ：铁心外接圆直径； xi ：第 i 级宽度的二分之一， i =1,2,…, n ； yi ：第 i 级叠积厚度， i =1,2,…, n ； Si ：第 i 级钢片的面积， i =1,2,…, n ； S ：铁心柱截面的总面积； n ：铁心的级数；
表 1 铁心柱截面级数的选择 Tab.1 the series choice of iron beam 铁心柱直径/mm
80-195 200-265 270-390 400-740 760 以上
级数 5-7 8-10 11 12-14 >15
图 1 铁心柱截面示意图 Fig.1 schema of the iron beam
S ' = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn (3)
所以目标函数为
n
∑ max S ' = xi yi (4) i=1
2.2.2 构造约束条件
由图 2 知利用勾股定理有
⎧ ⎪ ⎪
x12 x22
+ +
y12 = R2 ( y1 + y2 )2
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R2
⎪ ⎨
x32
+ ( y1
+
y2
+
∑ ⎧
⎪ ⎪
xi2
⎪
⎛ +⎜
⎝
i j =1
yj
⎞2 ⎟ ⎠
≤
R2,i
= 1, 2,..., n
s.t.
⎪ ⎪ ⎨
xi xi
> xi+1,i = 1, 2,..., mod 2.5 = 0
n
− 1.
(9)
⎪
⎪ ⎪
xi
≥
1 2
× 20
= 10
⎪ ⎪⎩
y1
≥
1 2
×
26
=
13
3 模型的求解
以上给出规划模型的建立过程，下面以铁心柱外接圆为例，给出如何确定铁心柱截面的 级数、各级宽度和厚度才能使铁心柱的有效截面积最大的方法。
这里只给出主要符号的意义，其他符号将会在文章中一一给出，在此不再赘述。
2 模型的建立
2.1 问题分析
铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。 而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。 设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。显然铁心柱的级数愈多，其截面 愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大[5]。但这样制造也工艺复杂，一般情 况下铁心柱的级数可参照表 1 选取。
2.2 规划模型
设 2xi 为第 i 级钢片的宽度， yi 为第 i 级钢片的叠积厚度（对于第一级来说， y1 表示其 二分之一的厚度），外接圆直径为 d ，半径为 R 。
由于对称性，为计算方便，便于模型的建立及编程求解，现在考虑四分之一个圆的情形。
图 2 铁心柱截面示意图 Fig.2 schema of the iron beam
8430.789
10
27.467
7278.683
11
25.393
6221.187
12
222.5 197.5 170.0 137.5 102.5 60.0
23.352 21.212 18.887 17.488 13.933 11.000
S i'
5195.909 4189.394 3210.739 2404.559 1428.112 660.015
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变压器铁心柱截面优化设计方法研究
张令刚，范加冬，张金科*
（中国矿业大学矿业工程学院，江苏 徐州 221008） 摘要：分析了电力变压器铁心柱截面的设计特点，应用规划方法建立了铁心柱截面优化模型。 以铁心柱外接圆直径为 650 毫米为例，应用 LINGO 软件，给出电力变压器铁心柱截面的优化 设计方案，方法简便，结果合理，模型具有通用性。 关键词：电力变压器；优化设计；铁心柱；LINGO
xi > xi+1,i = 1, 2,..., n −1. (7)
要 求 硅 钢 片 的 宽 度 为 5 的 倍 数 ， 即 2xi mod 5 = 0 ， 亦 即 xi mod 2.5 = 0 。 可 令
xi = 2.5z, z ≥ 0 ，且 z 必须为整数。
由上述分析可得到最优化模型：
n
∑ max S ' = xi yi (8) i=1
y3 )2
=
R2
(5)
⎪⎪.........
⎪⎩xn2 + ( y1 + y2 + ... + yn )2 = R2
故约束条件为第 i 级宽度的平方，与第一级厚度的一半加第 i 级之和的平方，应小于或
等于外接圆半径的平方，即
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∑ xi2
1 基本假设和符号说明
1.1 基本假设
（1）假设本文所选取的截面级数符合《规范》的要求； （2）假设硅钢片均严密压实，任两片间无空隙； （3）假设绝缘漆等材料对硅钢片的厚度无影响，计算每级钢片的叠积厚度时将其忽略；
作者简介：张令刚（1988-），男，中国矿业大学在读本科生，主要研究方向：交通运输. E-mail: zlgcumt@
395
21.212
8378.787
340
18.887
6421.478
275
17.488
4809.118
205
13.933
2856.224
120
11.000
1320.030
所以 n = 12 级时，在各级尺寸采取上表 3 数据时，铁心柱的有效最大截面积
12
∑ S = 4S ' = S1 + 2 Si = 316491.463 (10) i=2
Si
72690.022 25300.352 19779.305 16861.578 14557.337 11132.565 9763.167