2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五含答案一．选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）(A )4 (B )5 (C )8 (D )92．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）274．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sinC －A2+cosC +A2的值是( )(A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-16．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条(A)(B)(C)(D)件是λ的取值范围为________．2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min=_______．3．若z ∈C ，arg(z 2-4)= 5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________.4．整数⎣⎢⎡⎦⎥⎤10931031+3的末两位数是_______.5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 三、（本题满分20分）三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S －ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．五、（本题满分20分）设正数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式．参考答案一、选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）(A )4 (B )5 (C )8 (D )9解：tan πy=0，y=k (k ∈Z )，sin 2πx =0，x=m (m ∈Z )，即圆x 2+y 2=2及圆内的整点数．共9个．选D ．2．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值解：设lglog 310=m ，则lglg3=－lglog 310=－m ，则f (m )=a sin m +b 3m +4=5，即a sin m +b 3m=1．∴ f (－m )=－(a sin m +b 3m )+4=－1+4=3．选C ．3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27解：a 1∈A 或∉A ，有2种可能，同样a 1∈B 或∉B ，有2种可能，但a 1∉A 与a 1∉B 不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a 2、a 3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D ．4．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π解：曲线C 表示以(arcsin a ，arcsin a )，(arccos a ，－arccos a )为直径端点的圆．即以(α，α)及(π2－α，－π2+α)(α∈[－π2，π2])为直径端点的圆．而x=π4与圆交于圆的直径．故d=(2α－π2)2+(π2)2≥π2．故选C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h，则22sinC －A2+cosC +A2的值是( )(A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-1解：2R (sin C －sin A )=c sin A=2R sin C sin A ，⇒sin C －sin A=sin C sin A ， ⇒2cos C +A2sinC －A 2=－12[cos(C +A )－cos(C －A )]= 12[1－2sin 2C －A 2－2cos 2C +A 2+1]．⇒(sinC －A2+cosC +A2)2=1，但sinC －A2+cosC +A2>0，故选A ．6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni ，mi )，由①n >0，故否定A ，由于n 为椭圆的长轴，而C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n |、|m |)均小于椭圆长轴，故否定C ． 由B 与D 知，椭圆的两个个焦点都在y 轴负半轴上，由n 为长轴，知|OF 1|=n ，于是m <0，|OF 2|=－m ．曲线上一点到－ni 距离大，否定D ，故选B ． 二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．解：即此方程没有实根的条件．当λ∈R 时，此方程有两个复数根，若其有实根，则 x 2+λx +1=0，且x 2－x －λ=0．相减得(λ+1)(x +1)=0．当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2．2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min=_______．解：令x=r cos θ，y=r sin θ，则S=r 2得r 2(4－5sin θcos θ)=5．S=54－52sin2θ．(A)(B)(C)(D)∴1S max +1S min =4+525+4－525=85． 3．若z ∈C ，arg(z 2-4)= 5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________.解：如图，可知z 2表示复数4(cos120°+i sin120°)． ∴ z=±2(cos60°+i sin60°)=±(1+3i )．4．整数⎣⎢⎡⎦⎥⎤10931031+3的末两位数是_______. 解：令x=1031，则得x 3x +3=x 3+27－27x +3=x 2－3x +9－27x +3．由于0<27x +3<1，故所求末两位数字为09－1=08．5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.解：显然x 0x 3>1，从而log x 0x31993>0．即1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3≥klg x 0－lg x 3．就是[(lg x 0－lg x 1)+(lg x 1－lg x 2)+(lg x 2－lg x 3)](1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3)≥k ．其中lg x 0－lg x 1>0，lg x 1－lg x 2>0，lg x 2－lg x 3>0，由Cauchy 不等式，知k ≤9．即k 的最大值为9． 6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个． 三、（本题满分20分）三棱锥S -ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．⑴ 证明：∵ DP ∥SC ，故DP 、CS 共面．∴ DC ⊆面DPC ，∵ M ∈DC ，⇒M ∈面DPC ，SM ⊆面DPC ．∵ 在面DPC 内SM 与SC 相交，故直线SM 与DP 相交．⑵ ∵ SA 、SB 、SC 两两互相垂直，∴ SC ⊥面SAB ，SC ⊥SD ． ∵ DP ∥SC ，∴ DP ⊥SD ．△DD 'M ∽△CSM ，D‘Q M SA DCBP∵ M 为△ABC 的重心，∴ DM ∶MC=1∶2．∴ DD '∶SC=1∶2． 取SC 中点Q ，连D 'Q ．则SQ=DD '，⇒平面四边形DD 'QS 是矩形． ∴ D 'Q ⊥SC ，由三线合一定理，知D 'C=PS ． 同理，D 'A= D 'B= D 'B= D 'S ．即以D '为球心D 'S 为半径作球D '．则A 、B 、C 均在此球上．即D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．解：设l ：y=k 1(x －a )，m ：y=k 2(x －b )．于是l 、m 可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．∴ 交点满足⎩⎨⎧y 2=x ， (k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．若四个交点共圆，则此圆可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )+λ(y 2－x )=0． 此方程中xy 项必为0，故得k 1=－k 2，设k 1=－k 2=k ≠0． 于是l 、m 方程分别为y=k (x －a )与y=－k (x －b )． 消去k ，得2x －(a +b )=0，(y ≠0)即为所求轨迹方程． 五、（本题满分20分）设正数列a 0、a 1、a 2、…、a n 、…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式． 解：变形，同除以a n －1a n －2 得：a na n －1=2a n －1a n －2+1， 令a na n －1+1=b n ，则得b n =2b n －1． 即{b n }是以b 1=11+1=2为首项，2为公比的等比数列． ∴ b n =2n． ∴a na n －1=(2n －1)2．故 ∴ ⎩⎨⎧a 0=1，a n =(2n －1)2(2n －1－1)2…(21－1)2．(n ≥1)。