( A )< n . 反之，设秩( A )=秩( A )< n. 若秩( A )=秩( A )=0，则方程组为 0=0. 此时，当然有
无穷多个解.否则，取α1,α2 ,…,αn 的一个极大无关组αi1 ,αi2 ,…,αir . 显然αi1 ,αi2 ,…,αir 也
是 α1,α2 ,…,αn , β 中的向量. 注意到 α1,α2 ,…,αn , β 的秩为 r, 故 αi1 ,αi2 ,…,αir , β 线性
回忆 等价的向量组有相同的秩.
命题 若 β 可由 α1,α2 ,…,αn 唯一的线性表出，则 α1,α2 ,…,αn 线性无关.另一方面，若
α1,α2 ,…,αn , β 线性相关且α1,α2 …,αn 线性无关，则 β 可由α1,α2 ,…,αn 唯一的线性表
出. 定理(线性方程组有解判别定理) 设线性方程组
相关. 这说明 β 可由αi1 ,αi2 ,…,αir 线性表出，从而可由α1,α2 ,…,αn 线性表出. 于是，方程
组有解. 最后据条款(1)可知，必有无穷多个解.
(3) 这是(1)和(2)的直接推论.
推论 设齐次线性方程组
的系数矩阵为
⎧ a11x1 + a12 x2 + ⎪⎨⎪a21x1 + a22 x2 + ⎪ ⎪⎩as1x1 + as2 x2 +
证明 （1）若方程组有唯一解，则 β 可唯一的表成向量组α1,α 2 , ,α n 的线性组合. 这说 明α1,α2 ,…,αn 线性无关，从而其秩为 n, 于是 A 的列秩为 n, 也就是秩( A )= n. 另外，此时 α1,α2 ,…,αn 与α1,α2 ,…,αn , β 等价，于是有相同的秩，故秩( A )=秩( A )= n . 反之，若秩 ( A )=秩( A )= n ，则 α1,α2 ,…,αn 线性无关，而 α1,α2 ,…,αn , β 线性相关，于是 β 可由 α1,α2 ,…,αn 线性表出且表示法唯一，即方程组有唯一解. （ 2 ） 若 方 程 组 有 无 穷 多 个 解 ， 则 β 可 表 成 向 量 组 α1,α2 ,…,αn 的 线 性 组 合 . 于 是 α1,α2 ,…,αn 与 α1,α2 ,…,αn , β 等 价 ， 从而 秩 ( A )= 秩 ( A ). 由 条 款 (1)便 知 秩 ( A )= 秩
⎛ a11 a12
a2n
⎟⎜
⎟⎟，A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎟ asn ⎠
⎜ ⎝ as1 as2
(1) 方程组有唯一解当且仅当秩( A )=秩( A )= n .
a1n b1 ⎞
a2n
b2
⎟
⎟ ⎟Biblioteka .⎟ asn bs ⎠
(2) 方程组有无穷多个解当且仅当秩( A )=秩( A )< n .
(3) 方程组无解当且仅当秩( A )<秩( A ).
⎛ a12 ⎞
⎛ a1n ⎞
⎛ b1 ⎞
α1
=
⎜ ⎜
a21
⎟ ⎟
⎜⎟
,α2
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎜⎟
, …, αn
=
⎜ ⎜
a2n
⎜
⎟ ⎟ ⎟
,β
=
⎜ ⎜
b2
⎟ ⎟
.
⎜⎟
(2)
⎜ ⎝
as1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
as
2
⎟ ⎠
⎜ ⎝
asn
⎟ ⎠
⎜ ⎝
bs
⎟ ⎠
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
x1α1 + x2α 2 + + xnα n = β .
方程组有解判别定理的一个证明
方程组的表现形式 设线性方程组为
⎧ a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ,
⎪⎪⎨a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ,
(1)
⎪
⎪⎩ as1 x1 + as2 x2 + + asn xn = bs
引入向量
⎛ a11 ⎞
+ a1n xn = 0, + a2n xn = 0,
+ asn xn = 0.
2
⎛ a11 a12
⎜
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎜ ⎝ as1 as2
(1) 方程组有非零解当且仅当秩( A )< n.
(2) 方程组只有零解当且仅当秩( A )= n.
a1n ⎞
a2n
⎟
⎟ ⎟
.
⎟ asn ⎠
3
⎧ a11 x1 + a12 x2 +
⎪⎪a ⎨
21
x1
+
a22 x2
+
⎪
⎪⎩ as1 x1 + as2 x2 +
+ a1n xn = b1 , + a2n xn = b2 ,
+ asn xn = bs
的系数矩阵和增广矩阵分别为
1
⎛ a11 a12
⎜
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎜ ⎝ as1 as2
a1n ⎞
(3)
命题 利用上面的记号, 以下结论显然成立： （1）线性方程组(1)有解当且仅当向量方程(3)有解.
（2）向量方程(3)有解当且仅当向量 β 可以表成向量组α1,α2 ,…,αn 的线性组合.
（3）向量方程(3)有唯一解当且仅当向量 β 可唯一的表成向量组α1,α2 ,…,αn 的线性组合.
回忆 向量组α1,α2 ,…,αn 线性无关当且仅当它的秩为 n.