考研数学重要定理、性质及公式证明总结
()()()()()()()()000000001,211112y f x x y f x x y f x x dy f x x f x dx y f x x y f x x f x x x ==''==∆====（）函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导且当函数在点处可微时,有；
（）如果函数在点处可导,则函数函数在点处必连续,反之不一定.证明:（）参看同济教材七版上册页；
（）参看同济教材七版上册82页.设函数在处可导且取极值1.证明一元函数可微、可导及连续的关系:
2.证明费马定理:
()()[]()()()()()()()[]()()()()()()()()
()
()0=0.125,,,,,,=0.
126,,,,0,,.130,f x f x a b a b f a f b a b f f b f a f f x g x a b a b g x a b g b g a g f x ξξξξξ''=∈'-'≠∃∈=
'-,则证明:参看同济教材七版上册页.设在上连续在内可导,且则至少存在一点使得证明:参看同济教材七版上册页.设、在上连续内可导且则,使得证明:参看同济教材七版上册页.设3.证明罗尔定理:
4.证明柯西中值定理:
5.证明洛必达法则:
()()()()()
()
()()()()()[]()()()()[]0
0000,:1lim lim 0,2lim ;lim
lim .133,,,00,,144x x x x x x x x x x g x x g x f x f x f x f x g x g x g x g x f x a b a b f x f x a b →→→→→'≠''==∞='''><在点的某去心邻域内可导,且又满足（）
（）极限存在或为则证明:参看同济教材七版上册页.
设在上连续在内可导,且则在上单调增加（单调减少）.证明:参看同济教材七版上册6.证明函数单调性的充分判别法:
()[]()()()()[]()()0000,,,00,,148(),0,00155f x a b a b f x f x a b f x x x f x f x x x ''><'''==><=页.
设在上连续在内二阶可导,且则在上的图形是凹的（凸的）.
证明:参看同济教材七版上册页.设在处二阶可导若（）,则是极小（大）值点.证明:参看同济教材七版上册页.
7.证明曲线凹凸性的充分判别法:
8.证明极值点的充分条件:
@
考
研
数学
高老
师
()()()()()()()()()()()()()()()0000000000000001,(),02(),0,0,,()1,f x x x x f x f x f x f x x x f x f x x f x f x f x f x x x x f x f x x x f x x x f x x ''=='''''==≠''∃⇒=''⇒=⇒==（）设在处二阶可导,且点是曲线的拐点则；
（）设在处三阶可导若则点是曲线的拐点.证明:（）设在的某邻域可导,因是曲线的拐点
在的两侧凹凸性相反在的两侧单调性相反,又在9.证明拐点的必要条件及充分条件:
()()()()()()()()()()()[]()()()()0
0000000
00,0.2lim
lim
00,(),,,,.
2426x x x x b
a
x x x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x f x f x f x a b a b f x dx f b a ξξ→→''''⇒==''''''-'''''==><⇒=--⇒∈=-⎰连续
是的极值点,对使用费马定理得（）或在两侧异号
是曲线的拐点.
设在上连续则至少存在一点使得证明:参看同济教材七版上册页例.10.证明积分中值定理:
11.证明变()[][]()()[]()[]()[]()[][]()()()()()()[]0
00
,,,,,,,,,,,,,,,lim x
x x x
x
x x x x x
x x
x x
x
x
x f x a b x a b F x f t dt a b f x a b f x a b f x M x a b x x x a b F F x x F x f t dt f t dt f t dt
f t dt Mdt M x x x x a b F +∆+∆+∆+∆∆→∀∈=≤∈∀+∆∈∆=+∆-=-=
≤
≤
=∆+∆∈∆=⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰
设在上可积,则对有在上连续.
证明:因在上可积故在上有界,则可设（）.又有因此当时,限积分函数的连续性:
()[]()()[]()()()()()()()()()0,,.
,,.
240,,,,,,.:73b
a
F x a b F x f x a b f x dx F b F a z f x y x y z f x y x y z f x y x y z z dz dx dy x y
=-===∂∂=
+∂∂⎰即在上连续设是连续函数在区间上的一个原函数则证明:参看同济教材七版上册页.
设在点处可微,则在点处可导,且在点处的全微分证明参看同济教材七版下册页.
12.证明牛顿—莱布尼茨公式:
13.证明二元函数可微的必要条件:
14.证明二元函数可微的充分条()()()(),,,,,:74z z
z f x y x y z f x y x y x y ∂∂==∂∂设的两个偏导数在点处都连续,则在点处可微.
证明参看同济教材七版下册页.
件:
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()1
1
1110000
1,lim ,11:2620n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u u u a x x x x x x x a x ρρρρ∞
=∞∞
+→∞==∞=∞==⎧
<⇒⎪
⎪
⎪=>⇒⎨⎪
⎪
=⇒⎪⎩
=≠<∑∑∑∑∑（数一数三）收敛设为正项级数设则发散
可能收敛也可能发散
证明参看同济教材七版下册页.
（数一数三）如果级数当时收敛,那么满足的一切都使该幂级数绝对收敛;反之,如果级数15.证明比值判别法:
16.证明阿贝尔定理:
()()()()000:274,,,.:205,,,L D x x x x x D L P x y Q x y D Q P Pdx Qdy dxdy x y P x y Q x y D ∞
=>⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝
⎭∑⎰⎰⎰当时发散,那么满足的一切都使该幂级数发散.
证明参看同济教材七版下册页.（数一）设区域由分段光滑的闭曲线围成函数及在上具有一阶连续偏导数,则证明参看同济教材七版下册页.
（数一）我们已知:设在区域上17.证明格林公式:
18.证明曲线积分与路径无关问题:
()()()()()(),,0.
:,,,,,
,.:209:,,,,,
L
C
L
Pdx Qdy D D C Pdx Qdy D P x y Q x y D Q P
Pdx Qdy D x y D x y
D P x y Q x y D Pdx Qdy +⇔+=∂∂+⇔=∈∂∂+⎰⎰⎰连续则曲线积分在内与路径无关
对区域内分段光滑闭曲线有证明设区域是一个区域函数在上具有一阶连续偏导数则曲线积分在内与路径无关证明参看同济教材七版下册页.
证明设区域是一个区域函数在上具有一阶连续偏导数则在∀单连通单连通()()()(),,.,:211Q P
D u x y x y D x y
u x y Pdx Qdy ∂∂⇔
=∈∂∂+内是某一函数的全微分（这里的也称为的一个原函数）证明参看同济教材七版下册页.
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