河南省郸城一高2013—2014学年度高三月考（12月）
数学试题（文）
命题：郸城一高 杨培军
一、选择题（每题5分，共12小题，满分60分）
1．已知集合A ＝{x ｜－1≤x ≤2，x ∈Z}，集合B ＝{0，2，4}，则A ∪B 等于 （ ）
A ．{－1，0，1，2，4}
B ．{－1，0，2，4}
C ．{0，2，4}
D ．{0，1，2，4}
2．已知设i a ＋bi （a ，b ∈R ），则22a b ＋的值是 （ ） A ．8 B ．10 C ．3 D ．2
3．条件p ：x ＞1，y ＞1，条件q ：x ＋y ＞2，xy ＞1，则条件p 是条件q 的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4sin2x y ＝cos2x （ ）
A B C D 5．已知公差不为零的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4a 是a 3与a 7的等比中项，且S 10＝60，则S 20等于 （ ）
A ．80
B ．160
C ．320
D ．640
6．已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋y ＝xy ，不等式ax ＋y ≥25对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．已知向量a ＝（cos α，sin α），b ＝（sin β，－cos β），则｜a ＋b ｜的最大值为 （ ）
A B ．2 C ． D ．4
8．已知a 是函数f （x ）＝2x ＋2log x 的零点，若0＜0x ＜a ，则f （0x ）的值满足 （ ）
A ．f （0x ）＞0
B ．f （0x ）＝0
C ．f （0x ）＜0
D ．f （0x ）符号不确定
9．给出如下四个命题：
①若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；
②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b
－1”； ③“x ∀∈R ，2x ＋1≥1”的否定是“0x ∃∈R ，20x ＋1≤1”
④给出四个函数y ＝1x －，y ＝x ，y ＝2x ，y ＝3x ，则在R 上是增函数的有3个． 其中不正确的命题个数是 （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．已知数列{n a }的通项公式为n a ＝2n （n ∈N ﹡），把数列 {n a }的各项排列成如图所示的三角形数阵：记M （s ，t ）
表示该数阵中第s 行的第t 个数，则数阵中的偶数2010
对应于（ ）
A ．M （45，15）
B ．M （45，25）
C ．M （46，16）
D ．M （46，25）
11
a ＞0，
b ＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为 （ ）
A
B
C
D
12．对于函数y ＝f （x ），如果存在区间[m ，n]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n]内是
单调的；②当定义域是 [m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]，则称[m ，n]是该函数的“梦想区间”．若函数f （x ）＝a
a ＞0）存在“梦想区间”，则a 的取值范围是 （ ）
A ．
2） B ．
C ．
D ．（2，＋∞）
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，sinA ，sinB ，
sinC 成等比数列，则三角形的形状是_______________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组10,1
0,0x x y ⎧⎪⎨⎪⎩
＋y －≤－y ＋≥≥表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是_______．
15．函数f （x ）对任意正整数a ，b 满足条件f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ）且f （1）＝2，
______________ 16
①若a ＞b
ab ＞0； ②若不等式2x ＋ax －4＜0对任意x ∈（－1，1）恒成立，则a 的取值范围为（－3，3）；
③数列{n a }满足：a 1＝2068，且1n a ＋＋n a ＋2n ＝0（n ∈N ﹡），则11a ＝2013；
④设0＜x ＜1的最小值为2()a b ＋ 其中所有真命题的序号是______________．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（本题满分10分）)已知α为锐角，sin αtan （α－βcos2α和tan β 的值．
18．（本题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{n a }的首项为a 1＝2，且4a 1是2a 2，a 3
的等差中项．
（1）求数列{n a }的通项公式n a ；
（2）若n b ＝n a 2log n a ，n S ＝b 1＋b 2＋…＋n b ，求n S ．
19．（本题满分12分）在锐角三角形中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足
条件2sin 2B ＋sin2BsinB ＋cos2B ＝1．
（1）求角B 的值；
（2）若b ＝3，求a ＋c 的最大值．
20．（本题满分12分）已知函数f （x m ∈R ． （1）当m ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；
（2）若f （x ）在区间（－2，3）上是减函数，求m 的取值范围．
21．（本题满分12分）已知点A （0，－2），B （0，4），动点P （x ，y ）满足PA uu r ·PB uu r ＝
2y －8．
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹与直线y ＝x ＋b 交于C ，D 两点，且OC ⊥OD （O 为原点），求
b 的值．
22．（本题满分12分）已知a ∈R ，函数f （x ）＝ax －lnx ，g （x x ∈（0，e ]，其中e 是自然对数的底数，为常数．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值;
（2）在（1）的条件下，求证：f（x）＞g（x
（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．。