第一章 勾股定理 1.探索勾股定理课时1名师导航²预习指南知识要点勾股定理如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的作用勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。

其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。

有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。

经典例析例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.∴.512=CD点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。

1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，•则b=_____．2（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为__．4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ．5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12 6．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ ） A ．112倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是（）A．36 B．18 C．6 D．以上都不对8．如图，求下列阴影部分的面积与周长．9．如图，是某人在岛上的寻宝图，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向走6千米，往东一拐仅1千米找到宝藏，•问登陆点到宝藏点的直线距离是多少？10．在池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，荷花倒在水面位置距荷花直立水平距离为2尺，如图，试问池塘深浅几何？课时2名师导航²预习指南知识要点勾股定理的验证（1）通过测量进行验证；（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证。

在用拼图探索勾股定理的过程中，主要要清楚如下两点：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

②根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式，是推导勾股定理的一种很重要的方法如图所示。

经典例析1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，∠A=30°，则AC=______cm，BC=_______cm．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b：c=3：4：5，若c=25，则a=______，b=______．3．如图所示．（1）在图（1）中，AB=5，AC=2，BC=_______．=_______．（2）在图（2）中，BC边上的高为______，S△ABC（3）在图（3）中，正方形ABCD对角线BD=_______．(1) (2) (3)4．一棵树被大风刮倒后，折断处离地面3m ，树的顶端，离树根4m ，这棵树在折断之前的高度是（ ） A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m5.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边点F 处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求CE 的长．6．如图，一部云梯长25m ，斜靠在一面墙上，梯子的底部离墙 7m ． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯子的底部在水平方向向右边滑动了4m吗？•为什么？解题方案：（1）设梯子与墙、地及墙角三点，构成三角形分别为Rt △ABC 及Rt △A ′B ′C ′，•由已知得AB=______，BC=______，由勾股定理可得，．（2）由已知可得AA ′=4m ，又因为AC=______，所以A ′C=______，在Rt △A ′CB ′中，B ′C==_____，而BC=7m ，BB ′=B ′C-BC=_______，•显然梯子底部在水平方向上不止滑动4m ．请与同伴交流．2.能得到直角三角形吗名师导航预习指南知识要点直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足22b a +2c =，那么这个三角形是直角三角形。

它可应用于判断三角形是否为直角三角形，从而得到直角，两条直线垂直等信息，也可解决实际问题。

勾股数：满足22b a +2c =的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25；20，21，29； 9，40，41；……这些勾股数组的整数倍仍然是沟谷数组，由这些勾股数的倍数为三边长的三角形也是直角三角形。

经典例析例：1如图，在一次夏令营活动中，•小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了米到达B点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．因∠NBC=30°，所以∠ABC=90°在Rt△ABC中，（米）．1．（1）3a，4a，5a（a>0）；（2）5k，12k，13k；（3）3a，4b，5c，•以上各组数能组成直角三角形的是__________（填序号）．2．一个三角形的最大边是5，另一边是4，要使三角形为直角三角形，•则第三边长为_______．3．△ABC中，a=9，b=12，①当c2=______时，∠C是直角，②当c2=______时，∠B是直角．4．如图，已知S1=81，S2=225，S3=144，则△ABC是______，∠ACB=______．5．在△ABC中，AB=17，BC=30，BC上的中线AD=8，则△ABC为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形6．设a，b，c为直角三角形的三边，则a：b：c不可能是（）A．3：5：4 B．5：12：13 C．2：3：4 D．8：15：177．三角形的三边长分别为n2－1，2n，n2+1（n>1），则此三角形的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法判断8．正方形的对角线长为1，则正方形的边长为（）A．2C．9．如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，试求四边形CDAB•的面积．10．如图，已知四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=•24，∠B=90°，试说明∠A+∠C=180°．3.蚂蚁怎样走最近 名师导航²预习指南知识要点勾股定理在现实世界的广泛应用（1）将实际问题转化为由勾股定理解决实际问题，关键是构造直角三角形。

（2）表面路径问题，一般用拆面展开，展成平面后应用勾股定理。

（3）空间距离问题，一般从立体图形中找到直角三角形并运用勾股定理解题。

最短路线问题路程最短问题利用数学中建模思想构成直角三角形，利用勾股定理解决。

经典例析例：如图，据气象观测距沿海某城市A 的正南方向220km 的B•处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km 风力就会减弱一级，•该台风中心现正在以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响． （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？解：（1）过A 作AD⊥BC，垂足为D ． 在Rt△ABD 中，∠B=30°，AB=220km ． 所以AD=12³AB=12³220=110（km ）．因为110<20³（12-4）=160，所以A 市受台风影响．（2）在BC 上取点E ，F ，使AE=AF=160．则当台风中心在EF 上运动时，城市受到影响．在Rt△ADE 中，因为AD=110km ，AE=160km ．所以km ），h ）．1．•如果梯子底端离建筑物7m ，••那么25m•长的梯子可达到建筑物的高度是_______m ．2．在野外平地上，刘强以4m/s 的速度向南走，刘亮以3m/s 的速度同时、同地向东走，10s 后两人相隔______m ． 3．如图，有一圆柱，其高为12cm ，底面半径为3cm ，在圆柱下底面A 点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_______cm ．（ 取3.0）4．在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使A 点与B 点重合，折痕与AB ，AC 分别相交于点D 和点E ，如图．折痕DE 的长为_______．5．如图，有一个长、宽各2m ，高为3m 的封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到顶点B ，那么这只昆虫爬行的最短距离为（ ）． A ．3m B ．4mC ．5m C ．6m6．△ABC 中，∠A=12∠B=13∠C ，它的最长边为10cm ，则此三角形的最短边是（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm7．如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所示的数据，计算大树没折断时的高度．8．如图，∠A=90°，AF=3cm ，AB=4cm ，正方形BCDE 的面积是169cm 2，当EF 为多长时，∠BFE=90°？第二章 实数 1.数怎么又不够用了 课时1知识要点复习回顾有理数的相关知识经典例析例：下列各数中，哪些是有理数，哪些是不是有理数？ 3.23，－21，8，0. ，0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1).解：因为有理数可以用有限小数或无限循环小数表示，所以3.23和0. 是有理数；-21和8是有理数；因为无限不循环小数不是有理数，所以0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)不是有理数. 答案有理数有：3.23，-21，8，0.36；不是有理数有：0.2121121112….1．我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？先来看下面的问题:（1）16个边长为1的正方形拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的面积是 ，边长 有理数（填“是” 或“不是”）;（2）三个边长为2的正方形拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的面积是 ，边长 有理数（填“是” 或“不是”）.（3）在下图中，以直角三角形的斜边AC 为边的正方形的面积是 .设以斜边AC 为边的正方形的边长为b ，则b 应满足的条件是 .b 有理数（填“是” 或“不是”）.2．我国国旗旗面为长方形，长与宽之比为3∶2，国旗通用制作尺寸为长240 cm ，宽160 cm ，国旗对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？3．为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板（如图），设木板长为a 米，则由勾股定理得a 2=12+22，即a 2=5，a 的值大约是多少？这个值可能是分数吗？4．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？5．体积为3的正方体的边长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由.课时2知识要点1．有理数与无理数的区别有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．而无理数是无限不循环小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环．有理数可化为分数，无理数不能化成分数。