二次根式的化简与计算
【知识要点】
1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1）
()
()02
≥=a a
a
（2）()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>==000
02a a a a a a
a （3）()0,0≥≥⋅=⋅
b a b a b a
（4）
()0,0>≥=b a b
a
b a
3．运算法则：
（1）乘法运算：()0,0≥≥=⋅b a ab b a
（2）除法运算：
()0,0>≥=
b a b
a
b
a
4．最简的二次根式：
（1）被开方数因数是整数，因式是整式．
（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．
5．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项
a =来确定．
②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定．
如
: a
与a -
【经典例题】
例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233
+--a a a 2,21122
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
<
-a a a
例2．计算下列各题： （1）
()
2
7 （2）2
43⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ （3）()
2
23 （4）2
55⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ （5
（6
例4．把下列各式分母有理化 （1）12
1 （2）
2
33 （3）
12121 （4）50
3
51-
例5．化简
（1）121699⨯⨯ （2）637⨯
（3）221026- （4）
()()2512-⨯-
例6．计算
（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯32335 （2）
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯56215
（3）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯614123 （4）5433
1
12785⋅⋅⋅
-
【课堂练习】
1.填空题 (1)
7
1化为最简二次根式为________
(2)在36、34、932
中最简二次根式为________ (3)化下列各式为最简二次根式160=____ y 18x 2=____(x ＞0)
(4)当x ＜2时，化简44x -x 2+=________
(5)当x ＞0时，y
x 4化为最简根式为________
2.选择题
1、下列各式化为最简根式正确为( ) A.32=
3×2
=6 B.
4
3b 125a =-5ab2
5a
C.
3
1
=
3
3 D.--2(-1)=+1
2、下列各式中最简二次根式为( ) A.
8a
B.
5
x
C.
2
3b a + D.b a a 24+
3、下列各二次根式是最简二次根式的是( )
A.4a
B.1-x 2
C.
a 3
1 D.
y x 2 4、二次根式：
5
5x ,
14
,2
x
,211a ,12a ,4a
中最简二次根式的个数是( )
A.5
B.4
C.3
D.2 5.(07黄冈)计算：
2)= .
6.(07十堰)计算：
21)＝_________________.
7.(07宜昌)
的结果是 . 8.不等式
>的解是 .
9.(07临汾)
的结果是（ ） A. 6 B.34 C.632+ D.12
10. 计算)2
1
1
的结果是（ ）
＋1 B.)31 C.1 D.-1
11. (08烟台) 已知
2,2a b ）
A. 3
B. 4
C. 5
D.6 12.下列运算中，错误的有 （ ） ①
12
5
1144251
=， ②4)4(2±=-，
③22222-=-=-，④
20
95141251161=+=+ (A) 1个 ( B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 13. 满足32<<-
x 的整数x
是（ ）
A.1
B.0和1
C.0、1和－1
D.－1和0 14. 下列化简计算正确的是 （ ）
(A)2·3＝ 6 (B) 2＋3＝ 6 (C) 8＝3 2 (D) 4÷2＝2 15. 计算27
1
3313
32
÷⨯的结果是 ( )
(A)33
1
(B)3
12 (C)36 (D) 62
16. 下列二次根式有意义的范围为x ≥3的是（ ）。

(A)
3+x (B)3-x (C)
3
1
+x (D)
3
1-x
17. 下列各式计算正确的是 ( ) A.
2
2810-=
2102
8-=10-8=2；
B. -64-=-(-8)=8
C.
9
141+ =4
1 +
9
1 =2
1+3
1=6
5；
D. －
16
91
=－16
25=－4
5
18. 计算2
3
4
75482131-+的结果是 ( )
A. 2
B. 0
C. -3
D. 3 19. 在根式
5
14119545，
，，中，能合并的二次根式的个数是 （ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 20. 下列计算正确的是 （ ） (A)
835=+
(B)()()2234232232-=⨯-=-+ (C)
()()()2
2333b a b a b a -=-⋅+
(D) ()1165652
＝+=+ 21. 下列各式中，与
3能合并的二次根式是（ ）
A. 15
B. 125
C.
75 D.250
22.已知x ＝12＋，则代数式1x 2-x 2
+的值为
（ ）
A.22
B.2
C.2
D.
12＋
23. (07桂林)规定运算：()
a b a b *=-，其中a 、b 为实数，则)
3 .
24. (08徐州) 已知
21,23.x x x =--求的值
【培优训练】
1．下列化简过程正确的是（ ） A ．()
()
155353532
2
=⨯=⨯= B ．()
()
66
6
2
2
-=-=-
C ．()
()0222
≥=a a
a
D ．()
3
4
3943323322
2
2
=⨯=
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2.
=
⨯259， =
+916，
=
+2
2
86，
()()
=-2
2
6226．
3．化简： (1)50 (2)98
(3)162
(4)3
2 (5)3
12
(6)
5
7 (7)15
362
4．计算：
（1）()
2
2
3411+
（2）2
2
21162132⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
（3）5
232232⨯÷ （4）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯234323322
（5
）（6
【课后作业】
1．已知圆的半径为R ，面积为S ． （1）125S =cm 2，求R ． （2）80S =cm 2，求R ．
2、化简
（1）()()
5051015-⨯÷- （2）2
1
43618÷⋅
（3
） （4
+。