一、实验目的1在理论学习的基础上，通过本实验加深对快速傅立叶变换的理解；2熟悉并掌握按时间抽取FFT算法的程序；3了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，例如混淆、泄漏、栅栏效应等，以便在实际中正确应用FFT。
二、实验内容1仔细分析教材第六章‘时间抽取法FFT ’的算法结构，编制出相应的用FFT 进行信号分析的C语言（或MATLAB 语言）程序；用MATLAB语言编写的FFT源程序如下：%% 输入数据f、N、T及是否补零clc;clear;f=input('输入信号频率f：');N=input('输入采样点数N：');T=input('输入采样间隔T：');C=input('信号是否补零（补零输入1，不补零输入0）：'); %补零则输入1，不补则输入0if(C==0)t=0:T:(N-1)*T;x=sin(2*pi*f*t);b=0;e lseb=input('输入补零的个数：');while(log2(N+b)~=fix(log2(N+b)))b=input('输入错误，请重新输入补零的个数：');endt=0:T:(N+b-1)*T;x=sin(2*pi*f*t).*(t<=(N-1)*T);end%% fft算法的实现A=bitrevorder(x); % 将序列按二进制倒序N=N+b;M=log2(N); % M为蝶形算法的层数W=exp(-j*2*pi/N);for L=1:1:M %第L层蝶形算法B=2^L/2; % B为每层蝶形算法进行加减运算的两个数的间隔K=N/(2^L); % K为每层蝶形算法中独立模块的个数for k=0:1:K-1for J=0:1:B-1p=J*2^(M-L); % p 是W 的指数 q=A(k*2^L+J+1); % 用q 来代替运算前面那个数 A (k*2^L+J+1)=q+W^p*A(k*2^L+J+B+1); A(k*2^L+J+B+1)=q-W^p*A(k*2^L+J+B+1); end end end%% 画模特性的频谱图z =abs(A); % 取模z=z./max(z); %归一化hold onsubplot(2,1,1);stem(0:1:N-1,x,'DisplayName','z');title('时域信号');subplot(2,1,2);stem(0:1:N-1,z,'DisplayName','z');title('频谱图');figure(gcf) %画图2用FFT 程序计算有限长度正弦信号()sin(2),0*y t f t t N Tπ=≤<分别在以下情况下所得的DFT 结果并进行分析和讨论：a ）信号频率f ＝50Hz ，采样点数N=32,采样间隔T=0.000625sT=0.005sb）信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔c）信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.0046875sd）信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.004se）信号频率f＝50Hz，采样点数N=64,采样间隔T=0.000625sf）信号频率f＝250Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005sg）将c）信号后补32个0，做64点FFT三、实验分析DFT是对有限序列做傅里叶变换后在频域上进行采样，而相对应的时域以频谱上的采样频率的倒数进行周期拓展。
而在此题中，题中给出时域上的连续信号，对该连续信号进行加窗采样后得到有限序列，要求对该有限序列求DFT。
所以整个步骤为：对时域加窗，则相对应的频域与窗函数的傅里叶变换即sinc函数相卷积；再对时域采样，则对应的频域以时域采样频率的倒数进行周期性拓展；再将时域以窗长为周期进行周期性拓展，对应的频域以该周期的倒数进行采样，即得所求DFT。
a)信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.000625s。
Sin函数信号对应的频谱图为在窗长，对应的sinc函数主瓣宽，其余波节与波节间距，两信号在频域上相卷，即将sinc函数平移；在时域以进行采样，即频域以进行周期性拓展。
在频域上采32个点，则对应每个点之间的间距为,（对应时域以0.02s进行周期性拓展，不予考虑）。
此时我们可以发现除了在f=50Hz（对应为第1个点）上采到的点幅值为sinc函数的最大值外，其他频率上采到的点刚好对应sinc函数的波节处，即此时采到的值为0。
又因为DFT满足共轭对称，所以可得图如上。
b)信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s。
与a相比，采样间隔T不同，所以窗长，为a中窗长的8倍，所以窗长在频域上对应的sinc函数主瓣宽及波节与波节间距都为a中的即，两信号相卷，将sinc函数平移到；在时域以进行采样，即频域以进行周期性拓展。
在频域上采32个点，则对应每个点之间的间距为。
此时我们可以发现除了在f=50Hz上采到的点幅值为sinc函数的最大值外，其他频率上采到的点刚好对应sinc函数的波节处，即采到的值为0，而f=50Hz=8*6.25Hz，则第8个点为1；又因为DFT满足共轭对称，所以可得图如上。
c)信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.0046875s。
Sin函数信号对应的频谱图为在窗长，对应的sinc函数主瓣宽，其余波节与波节间距，两信号在频域上相卷，即将sinc函数平移；在时域以进行采样，即频域以进行周期性拓展。
在频域上采32个点，则对应每个点之间的间距为，与波节间距相等。
但可以发现f=50Hz对应第7.5个点，而所求必须采到整数点上，所以采出来的点即没有最大值，也不存在0点。
又因为DFT满足共轭对称，所以可得图如上。
d)信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.004s。
Sin函数信号对应频谱图为在窗长，对应的sinc函数主瓣宽，波节与波节间距，两信号在频域上相卷，即将sinc函数平移；在时域以进行采样，即频域以进行周期性拓展。
在频域上采32个点，则对应每个点之间的间距为，与波节间距相等。
但可以发现f=50Hz对应第6.4个点，而所求必须采到整数点上，所以采出来的点即没有最大值，也不存在0点。
又因为DFT满足共轭对称，所以可得图如上。
e)信号频率f＝50Hz，采样点数N=64,采样间隔T=0.000625s。
Sin函数信号对应的频谱图为在窗长，对应的sinc函数主瓣宽，其余波节与波节间距，两信号在频域上相卷，即将sinc函数平移；在时域以进行采样，即频域以进行周期性拓展。
在频域上采64个点，则对应每个点之间的间距为。
此时我们可以发现除了在f=50Hz（对应为第2个点）上采到的点幅值为sinc函数的最大值外，其他频率上采到的点刚好对应sinc函数的波节处，即此时采到的值为0。
又因为DFT满足共轭对称，所以可得图如上。
f)信号频率f＝250Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s。
与a相比，采样间隔T不同，所以窗长，为a中窗长的8倍，所以窗长在频域上对应的sinc函数主瓣宽及波节与波节间距都为a中的即，两信号相卷，将sinc函数平移到；在时域以进行采样，即频域以进行周期性拓展，又因为，所以相当于将sinc函数平移到。
在频域上采32个点，则对应每个点之间的间距为。
此时我们可以发现除了在f=50Hz上采到的点幅值为sinc函数的最大值外，其他频率上采到的点刚好对应sinc函数的波节处，即采到的值为0，而f=50Hz=8*6.25Hz，则第8个点为1；又因为DFT满足共轭对称，所以可得图如上。
与b比较易得两图所得结果相同。
g)将c信号后补32个0，做64点FFT。
Sin函数信号对应的频谱图为在窗长，对应的sinc函数主瓣宽，其余波节与波节间距，两信号在频域上相卷，即将sinc函数平移；在时域以进行采样，即频域以进行周期性拓展。
在频域上采64个点，则对应每个点之间的间距为。
可以发现f=50Hz对应第15个点，并且每个波节刚好被采到。
又因为DFT满足共轭对称，所以可得图如上。
与c信号相比较易发现刚好在c信号的每两点的中间多采一点。
小结：影响DFT结果的参数有信号频率f，采样点数N，采样间隔T，是否补零。
信号频率f：由b）和f）比较得，f影响到sinc函数做卷积后的位置，而这这两个信号中的频率差恰好等于时域采样频率，又在频域上以为周期做拓展，所以得到的DFT结果一样。
采样点数N：由a）和e）比较得，频谱上虽然采样更密，但同时频谱也被压缩，所以采样点数N并不产生影响。
采样间隔T：由a）、b）、c）、d）比较得，采样间隔T与N一起决定了窗的长度，与f一起决定了频谱上采样点的位置，是影响频谱图像的主要因素。
补零：由c）和g）比较得，补零对应在频谱上采样密度增加一倍，使频谱图更加清晰。
如果补零后的总点数是原采样点数的倍，则频谱上采样的密度为原来的倍。
四、实验总结这次实验让我对fft算法有了详细的掌握，能够熟练地用fft算法求解DFT。
除此之外，对DFT的物理意义有了更加深入的了解，掌握了求解DFT的详细过程，并对影响DFT的几种因素进行了分析，对栅栏效应、频谱分辨率、泄露效应及各种参数的选择有了进一步的了解。
总而言之，这次实验编程部分还算比较容易，而因为对DFT的原理不是很熟练，所以觉得对各种参数的分析比较难，但在老师和同学们的帮助下最后还是掌握了这部分知识，也是这种感觉让我很期待下一次的实验。