种不同的方法.
现有高一学生50人,高二学生42人,高三
学生30人,组成夏令营去北京.若从每个
年级各选一名负责人,共有多少种不同 的选法?
【解析】按照分步计数原理，共有50×42×30=63000 种不同的选法.
分步乘法计数原理针对的是“分步”问 题,完成一件事要分为若干步,各个步骤 相互依存,缺少其中任何一步都不能完 成这件事,只有当各个步骤都完成后,才 算完成这件事。
议一议:用分步乘法计数原理解决的问题具有怎样的 特点?
(1)完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;
(2)完成每一步有若干种方法; (3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成
这件事的所有方法数.
使用分步乘法计数原理需要注意哪 些问题？
(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后
顺序的.
(2)各步中的方法相互依存,缺一不可,只有各个步骤
【解析】第1类,选甲、乙、丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分2步安排 这3人操作电脑,有2×2=4种方法; 第2类,选甲、乙、丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人操作电
脑,有2种方法; 第3类,选甲、丙、丁3人,这时安排3人操作电脑只有1种方法;
第4类,选乙、丙、丁3人,同样也只有1种方法. 根据分类加法计数原理,共有4+2+1+1=8种选派方法.
所以不同的参赛方法有34=81(种).
(2)竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4
个不同的学生,则不同的参赛方法有43=64(种).
(3)问题等价于从4个学生中挑选3 个学生去参加三个项目的竞赛,
每人参加一项,故不同的参赛方法有4×3×2=24(种).
【例2】用0,1,…,9这10个数字,可以组成多少个: (1)三位整数? (2)无重复数字的三位整数? (3)小于500的无重复数字的三位整数?
(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选
择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有4×9×8=288个.
【例3】有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个
操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电
脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个
操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同 的选派方法有多少种?
【答案】B
3.春节期间,某单位安排甲、乙、丙三人
于正月初一至初五值班,每人至少值班一
天,且每人均不能连续值班两天,其中初
二不安排甲值班,则共有
种不同
的值班方案.
【解析】每人均不能连续值班两天,其中初二不安排甲值班的
方法数为2×2×2×2×2=32种,其中甲乙甲乙甲/甲丙甲丙甲/ 乙丙乙丙乙/丙乙丙乙丙四种情况不符合,故有32-4=28种.
裤中任选一条,有3种不同的选法.故不同的配法共有 4×3=12种.
【答案】B
2.在一次运动会上有五项比赛,每项比
赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那
么不同的夺冠情况共有(
).
A.53种 B.35种 C.15种 D.8种
【解析】因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况,
根据分步乘法计数原理,共有35种不同的夺冠情况.
1.1.2分类计数原理
与分步计数原理
用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
数字,以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给
教室里的座位编号，总共能编出多少个不 同的号码？
先选定一个字母，
后确定一个数字.
青岛是一座美丽的滨海城市,空气良好,城市
生活也很悠闲.海水清澈漂亮,能看到美丽的 海岸线.青岛的海鲜很便宜,海滨城市边吃海 鲜边吹海风很惬意.小辛决定“五一”期间从
【针对训练1】一种号码有4个拨号 盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数的 号码(各位上的数字允许重复)?
【解析】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:
第一步,有10种拨号方式,所以m1=10; 第二步,有10种拨号方式,所以m2=10; 第三步,有10种拨号方式,所以m3=10; 第四步,有10种拨号方式,所以m4=10.
都完成才算完成这件事. (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.
1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜
色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一
套,则不同的配法有( ). A.7种 B.12种 C.64种 D.81种
【解析】要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件中 任选一件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条长
根据分步乘法计数原理,共可以组成
N=10×10×10×10=10000个四位数的号码.
注意： 完成这件事分为若干步骤，每一步不能独立完成这件事， 只能得到中间结果，只有每一步都完成才能完成整件事. 即步步为营；
推广：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有 m2种不同的方法……，做第n步有m n种不 同的方法.那么完成这件事共有
N m1 m2 L mn
【解析】由于0不可在最高位,因此应对它进行单独考虑. (1)百位数字有9种选择,十位数字和个位数字都各有10种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×10×10=900个.
(2)由于数字不可重复,因此百位数字有9种选择,十位数字也有9种
选择,个位数字有8种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×9×8=648个.
【答案】28
【例1】小明、小丽、小辛、小红四位同学参与三项竞赛
项目.
(1)若每位学生必须参加一项竞赛,则不同的参赛方法有 多少种? (2)若每项竞赛只允许一位学生参加,则不同的参赛方法 有多少种? (3)若每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只允许一位 学生参加,则不同的参赛方法有多少种?
【解析】(1)学生可以选择竞赛项目,而竞赛项目对学生无条件限制,
枣庄坐火车到济南办事,再于次日从济南乘汽
车到青岛旅游,一天中火车有3班,汽车有2班.
他将如何安排行程?
【解析】因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,所以从枣庄到 青岛需乘1次火车再接着乘1次汽车就可以了,共有3×2=6种不同 走法,如图.
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同 的方法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事 共有N= m× n种不同的方法。