笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展 方圆有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起 跑点而踏上研究微积分的道路的。
德国天文学家、数学家开普勒的无限小元法。
17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不 同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力 还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。
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微积分产生的历史背景
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一 种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无 限求和’就是积分。微积分（Calculus）是 高等数学中研究函数的微分、积分以及有关 概念和 应用的数学分支。它是数学的一 个基础学科。内容主要包括极限、微分学、 积分学及其应用。微分学包括求导数的运算， 是一套关于变化率的理论。它使得函数、速 度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用 的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运 算，为定义和计算面积、体积等提供一套通
1715年数学家泰勒在著作《正的和反 的增量方法》中陈述了他获得的著名定理， 即现在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦 克劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代 微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级 数称为“麦克劳林”级数。
18世纪的数学家还将微积分算法推广 到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分 理论。这方面的贡献主要应归功于尼古 拉·伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家。
伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成 了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给 出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约 翰的学生罗比达编入其微积分著作《无穷小分 析》，现在通称为罗比达法则。
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西方的微积分思想萌芽
安提芬的“穷竭法”。他在研究化圆为方 问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷 竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基 米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的 面积、体积计算问题。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线 的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大
值极小值等问题。
十七世纪微积分的酝酿
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在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼 茨分享荣誉
莱布尼茨通常假设曲线z通过原点，这 就将求积问题化成了反切线问题，即：为 了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需 求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜 率为．如果是在区间上，由上的面积减去 上的面积 :
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微积分中注入严密性
微积分学中的许多概念都没有精确的定义， 特别是对微积分的基础—无穷小概念的解 释不明确，在运算中时而为零，时而非零， 出现了逻辑上的困境。 18世纪的时候，欧陆数学家们力图以代数 化的途径来克服微积分基础的困难，这方 面的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉 格朗日。
1665年11月发明“正流数术”(微分法)， 次年5月又建立了“反流数术”(积分 法)．1666年10月，牛顿将前两年的研究 成果整理成一篇总结性论文，此文现以 《流数简论》著称 ,是历史上第一篇系统的 微积分文献 .
牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种 特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流 数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关 系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他 超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们
说牛顿发明了微积分。
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莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重 要结果：
“由一条曲线的法线形成 的图形，即将这些法线(在 圆的情形就是半径)按纵坐 标方向置于轴上所形成的图 形，其面积与曲线绕轴旋转 而成的立体的面积成正比”。
b
ydx z b z a
a
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十八世纪微积分的发展
从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学 家罗尔在其论文《任意次方程一个解法的证明》 中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现 在所说的罗尔微分中值定理。
重心和引力等微积分基本问题的计算 被重新研究。
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方 法促进的连续不可分量的几何学》(1635) 中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里 认为线是由无限多个点组成；面是由无限 多条平行线段组成；立体则是由无限多个 平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、 面和体的“不可分量”．卡瓦列里建立了 一条关于这些不可分量的普遍原理，后以 “卡瓦列里原理”著称
第第二一类类是是，，望已远知镜物的体光的程移设动计的使距得离求表曲为线时 间的函数的公式的，切求线物问体题在任意时刻的速 度第第和三四加类类速是问度，题使确是瞬定求时炮行变弹星化的沿率最轨问大道题射运程动以的及路求 行程星、离行开星太矢阳径的扫最过远的和面最积近以距及离物等体涉重及 心与引的力函等数，极使大面值积、、极体小积值、问曲题线长、
用的方法。
我国的微积分思想萌芽
公元前5世纪，战国时期名家的代表 作《庄子•天下篇》中记载了惠施的一段话： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是 我国较早出现的极限思想。
魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”开创 了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就 是：“割之弥细，所失弥少。割之又割， 以至于不可割，则与圆合体，而无所失 矣。”
微对微积分问题的研究始于1664年秋， 当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛 卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻 找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小 ○记号表示x的无限小且最终趋于零的增 量．
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