第 1 页 共 4 页……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………………此处不能书写此处不能书写此处不能书写 此处不能书写此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写高等数学A （1）综合测试3一、选择填空题(18%)1.d =_________d .2. 211dxx+∞⎰=_____________.3. 设()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 121(sin )x f x dx-⎰=________.4. 设函数()21,0,1sin ,0x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩则0x =是函数的( ).(A)可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C)连续点 (D) 间断点,但左连续5. 设函数()f x '的图像如右图所示, 下列说法正确的是( ).(A) 130,,x x 都是函数()f x 的极值点 (B) 1x 是函数()f x 的极小值点 (C) 2x 是函数()f x 图像的拐点 (D) 3x 是函数()f x 的极大值点 6. 已知2x 是()f x 的一个原函数,则2(1)( ).xf x dx -=⎰（A ）222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+（C ）221(1)2x C --+ (D)221(1)2x C -+二、解答下列各题（36%）1.27lim 23xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭2. 24sin limx x x x dx x→⎰ 3. 设()y y x =由1y xy e x +=+确定,求.x dy dx=4. 设()f u 为可导函数，且(cos )cos (),y f x f x =+求.y '5.设3sin 4cos x ty t=⎧⎨=⎩,求22,.dy d y dx dx 6.设y =求.y ''三、解答下列各题（36%）.1.2arctan 1x dx x+⎰2. 21712dx xx -+⎰3.94⎰4．设()2,0,cos ,xxe x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩求 3 1().f x dx -⎰5. 求由双曲线4y x=与直线5x y +=所围成的图形面积，并求绕X 轴旋转一周所得立体的体积.6.求微分方程sin cos x y y x e -'+= 的通解. 四、解答下列各题（10%） 1.倍受关注的武广高铁于12月26日成功首发,据报道,目前日运力2万人次,票价499元,上座率30%.设上座率s 与票价x(百元)满足2()(9)s x a x b =-+,29x ≤≤.当票价为5百元时上座率为34% ,而票价2百元时恰好满座.试确定票价使铁道部收入最大. 2. 0()()()()2.().x f x x t f t dt f x x f x -=-⎰设有任意阶导数，且满足试求第2页共4页高等数学A （1）综合测试3参考答案一、选择填空题(18%).1.d=d .2. 211dxx+∞⎰=___1___.3. 设()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 121(sin )x f x dx-⎰=__0___.4. 设函数()21,0,1sin ,0x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩则0x =是函数的( B ).(A)可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C)连续点 (D) 间断点,但左连续5. 设函数()f x '的图像如右图所示, 下列说法正确的是( C ).(A) 130,,x x 都是函数()f x 的极值点 (B) 1x 是函数()f x 的极小值点 (C) 2x 是函数()f x 图像的拐点 （D) 3x 是函数()f x 的极大值点 6. 已知2x 是()f x 的一个原函数,则2(1)( C ).xf x dx -=⎰（A ）222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ （C ）221(1)2x C --+ (D)221(1)2x C -+二、解答下列各题（36%）1010lim ln 1lim 52323271.lim 23x x xxx x x x x e e e x →∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭-→∞+⎛⎫=== ⎪-⎝⎭2243sin sin 12.limlim44x x x x x dx x x xx→→==⎰001.111 ,=0=0,=1yx yyx dy y y xy e x dxx y x y e y dy y dyx y dx x e dx==+=+''⋅+⋅+⋅=-=+3.设=(x)由确定，求解：两端对求导，则有：解得：将代入有从而4. (cos )cos (), =(cos )(sin )[sin ()]()y f x f x y f x x f x f x '''=+-+-设y=f(u)可导，5. 设3sin 4cos x t y t=⎧⎨=⎩,4sin 4tan ;3cos 3dy t t dxt-==-22234sec 44413tan tan .333cos 9cos td y d d dtt t dxdx dtdxtt-⎛⎫⎛⎫=-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32216.(2)=4(4).4x y y x y x x--'==-=''---设三、解答下列各题（36%）22arctan 11. =arctan (arctan )(tan )12x dx xd x arc x C x=++⎰⎰21111142.()ln71243433x dx dx dx dx C xx x x x x x -=-=-=+-+-----⎰⎰⎰⎰第 3 页 共 4 页……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………………此处不能书写此处不能书写此处不能书写 此处不能书写此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写9413. ⎰2,,2,t x t d x t d t==则 93324224[22ln(1)]22ln13t dt t t==-+=-+⎰⎰从而。

()231,04.,().cos ,xxe x f x f x dx x x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩⎰设求223303011191()cos [sin cos ][]21 (1)(sin 1cos1)2xxf x dx x xdx xe dx x x x e e ---=+=++=+-+⎰⎰⎰解：5. 求由双曲线4/y x =与直线5x y +=所围成的图形面积.41,15S=)=4ln 4.2x x x x x dx x∈⎰4解：联立方程可解得交点为：（1,4）,（4,1）可确定[1,4],面积微元ds=(5--)d 4 从而：(5---6. 求微分方程sin cos x y y x e -'+= 的通解.sin sin sin sin sin sin sin ()()()(cos )()cos ()=1()=+c .xxx x x xxy ce c x ec x e c x e x c x e x ec x c x x y x c e-------'+-+='解：方法1：对应齐次方程通解为= 常数变易，设y=,代入非齐次方程有：即，则，从而=(+)方法2：记sin ()cos ,(),xp x x q x e-==则1()sin p x dx x c =+⎰()sin sin ()p x dxxxq x edx eedx x C -⎰==+⎰⎰原方程的通解为：sin ().xy ex C -=+四、解答下列各题（10%）1.倍受关注的武广高铁于12月26日成功首发,据报道,目前日运力2万人次,票价499元,上座率30%.设上座率s 与票价x(百元)满足2()(9)s x a x b =-+,29x ≤≤.当票价为5百元时上座率为34% ,而票价2百元时恰好满座.试确定票价使铁道部收入最大.(结果精确到元,8.831=)23.06,8.9422x x f(x)=s(x)x =0.02(x -18x +82)x x f (x)=0.02(3x -36x +82),x x ≤≤'==21解：由所给数据可求得s()=0.02(-9)+0.02每座收入函数：，29而可求得驻点为，又(2)2,(3.06) 2.22(8.94)0.18,(9)0.18f f f f =≈≈=，（百元）306从而收入最大对应票价为元2. 0()()()()2.().xf x x t f t dt f x x f x -=-⎰设有任意阶导数，且满足试求第4页共4页12()()()2()+()()()2()=()2()()()xx xxxx f t dt tf t dt f x xx f t dt x f x xf x f x f t dt f x x f x f x f x c e c e-=-'⋅-'-''==+⎰⎰⎰⎰0解：由题意： 等式两端对变量求导：-=即：等式两端再次对变量求导: 上式微分方程对应通解为：12 0,(0)0,(0)21,()xx x x f f c c f x e e --'=====-令可得，从而=-1,故.。