大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷
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一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末
的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞
=，则级数
1
n
n a
∞
=∑（ ）；
A.一定收敛，其和为零
B. 一定收敛，但和不一定为零
C. 一定发散
D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）；
A. 623(, , )777
B. 623(, , )777-
C. 623( ,, )777--
D. 623(, , )777--
3、设3
2
()x x y f t dt =
⎰
，则dy dx
=（ ）；
A. ()f x
B. 32()()f x f x +
C. 32()()f x f x -
D.2323()2()x f x xf x -
4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在
C. 必为初等函数
D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1
1
n n n ∞
=+∑
必定____________（填收敛或者发散）。

2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。

3、定积分1
21sin x xdx -=⎰__________ _。

4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2()
lim ()
x a f x g x →=__________。

三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 )
1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ⎰
2、( 本小题7分 )
若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ⎰。

3、( 本小题7分)
已知函数
1
arctan
1
x
y
x
+
=
-
，求
dy
dx。

4、( 本小题7分)
将函数
1
()
32
f x
x
=
+
展开为(1)
x-的幂级数。

四、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 )
计算81
⎰。

2、( 本小题7分 )
求幂级数11
(1)(3)n n
n x n -∞
=-∑的收敛区间。

3、( 本小题7分 )
设0
[()''()]sin 5,()2f x f x xdx f π
π+==⎰，求(0)f 。

4、( 本小题7分 )
五、解答题( 本大题12分)
设()
f x具有连续二阶导数，且(0)0
f=，
()
,0 ()
,0
f x
x
g x x
a x
⎧
≠
⎪
=⎨
⎪=
⎩
（1）a为何值时，()
g x连续。

（2）对（1）中所确定的a值，求'()
g x。

（3）讨论'()
g x在0
x=处的连续性。

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷
参考答案
一、选择题：
1、D ；
2、B ；
3、D ；
4、B.
二、填空题：
1、发散；
2、-2；
3、0；
4、0.
三、解答题：
1、求不定积分sin x xdx ⎰； 解：sin x xdx ⎰
cos cos cos sin x x xdx x x x C
=-+=-++⎰
2
、若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ⎰；
解：因为'()1f x =，所以21'()12f x x
=+
则
21'()(1)21
ln 2
f x dx dx x
x x C
=+
=++⎰⎰
3、已知函数1arctan 1x y x +=-，求dy
dx
； 解：
2211()'111()111dy x
x dx x
x
x +=⋅+-+-=
+ 4、将函数1
()32
f x x =+展开为(1)x -的幂级数. 解：
10
1()3211351(1)
53(1)(1)53
1(1)1
5n n n n n f x x x x x ∞
+==
+=⋅
+-=---<-<∑
即2833x -<<。

四、解答题 1
、计算81
⎰
；
解：令t =，则3x t =，23dx t dt =
8
2211221313ln(1)23
(ln 5ln 2)2t dt
t t =+=+=-⎰⎰
2、求幂级数11
(1)(3)n n
n x n -∞
=-∑的收敛区间；
解：根据公式 1
1(1)(3)1lim
3(1)(3)n n n n
n x n x x n
+-→∞-+=- 当11
33
x -<<收敛；
当1
3x =-时，幂级数发散；
当1
3
x =时，幂级数收敛；
所以，幂级数收敛区间是11
33
x -<≤
3、设0
[()''()]sin 5,()2f x f x xdx f π
π+==⎰，求(0)f ；
解：利用分部积分公式
()sin ()cos ()cos cos '()()(0)'()sin ''()sin f x xdx f x d x
f x x
xf x dx
f f f x x
f x xdx
π
π
π
ππ
ππ=-=-+=++-⎰
⎰⎰⎰
即0
[()''()]sin ()(0)f x f x xdx f f π
π+=+⎰
由题意，(0)3f =。

4、求由抛物线21,0,2y x x x =-==及0y =所围成的平面图形的面积. 解：
1
2
220
1
313
20
1
(1)(1)11()()332
S x dx x dx
x x x x =-+--=-+-+=⎰⎰
五、解答题
设()f x 具有连续二阶导数，且(0)0f =，()
, 0(), 0f x x g x x a x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩:
（1）a 为何值时，()g x 连续。

（2）对（1）中所确定的a 值，求'()g x 。

（3）讨论'()g x 在0x =处的连续性。

解：（1）因为00'()
lim ()lim
'(0)1
x x f x g x f →→==，所以'(0)a f =时，()g x 连续。

（2）当0x ≠时，2
'()()
'()xf x f x g x x -= 000()
'(0)
'()'(0)'(0)lim lim
2''()''(0)lim 22x x x f x f f x f x g x x f x f →→→--==== （3）因为
2
000'()()lim '()lim
''()''(0)lim '(0)22
x x x xf x f x g x x f x f g →→→-====。