2003年温州中学数学试验班招生数学试卷
说明:
1、 本卷满分150分;考试时间：9:10—11:10.
2、 请在答卷纸上答题.
3、 考试结束后,请将试卷、答卷纸、草稿纸一起上交.
一、选择题（每小题6分，共计36分）
1．若),(),,(222111y x P y x P 是二次函数)0(2
≠++=abc c bx ax y 的图象上的两点,且
21y y =，则当21x x x +=时，y 的值为…………………………………………………（ ）
（A ）0 （B ）c （C ）a
b
- （D ）a b ac 442-
2．若13,132
2
4
=-=+b b a a ，且12
≠b a ，则2
21
a b a +的值是……………………（ ）
（A ）3 （B ）2 （C ）3- （D ）2-
3．如图,有三根长度相同横截面为正方形的直条形木块1I 、2I 、3I ，若将它们靠紧放 置在水平地面上时，直线1AA 、1BB 、1CC 恰在同一个平面上，木块1I 、2I 、3I 的体积分别为1V 、2V 、3V ，则下列结论中正确的是………………………………………（ ）
（A ）321V V V += （B ）2
3
12V V V +=
（C ）2
32
22
1V V V += （D ）312
2V V V =
4．点P 在等腰ABC Rt ∆的斜边AB 所在直线上，若记：2
2
BP AP k +=，则……（ ） （A ） 满足条件2
2CP k <的点P 有且只有一个 （B ） 满足条件22CP k <的点P 有无数个 （C ） 满足条件22CP k =的点P 有有限个 (D) 对直线AB 上的所有点P ，都有2
2CP k =
1
5．已知AD 、BE 、CF 为ABC ∆的三条高（D 、E 、F 为垂足），
45=∠B ，
60=∠C ，则
DF
DE 的值
是 ……………………………………………………（ ） （A ）
3
2 （B ）
23 （C ）2
1 （D ）21
6．已知M 是弧CAB 的中点，MP 垂直弦AB 于P ，若弦AC 的长度为x ，线段AP 的长度是1+x ，那么线段PB 的长度是……………………………………………………………（ ） （A ）12+x (B) 22+x (C) 32+x （D ）13+x
二、填空题（本题共6小题,每小题6分，共36分）
7．若关于x 的不等式0)1()1(>++-x b x a 的解是3
2
<
x ,则关于x 的不等式0)1()1(>-++x b x a 的解是_____________ .
8．如果方程0)4
2)(1(2
=+--k
x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是 . 9．若20032001+=
x 是方程024=++c bx x 的根，且b 、c 是整数,则=+c b ______.
10．在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，θ=∠==A b a ,17,15（θ为定值） 若满足上述条件的三角形只能作一个，则=∠C tg _________.
11．在平面直角坐标系中，点P 的坐标是)2,2(n m ++， m 、n 都是有理数，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，已知OPH ∆的面积为
2
1，其中O 为坐标原点，则有序数对),(n m 为
（写出所有满足条件的有序数对),(n m ）. 12．如图,一根木棒（AB ）长a 2，斜靠在与地面（OM ）垂直的墙壁（ON ）上，与地面的倾斜角)(ABO ∠为60°。
若木棒A 端沿直线ON 下滑，
且B 端沿直线OM 向右滑行（)OM NO ⊥，于是木棒的中点P 也随之运动，已知A 端下滑到A '时，
a A A )23(-='。
则中点P 随之运动到P '时经过
的路线长为 .
M
N
B
O A
2003年温州中学数学试验班招生数学答卷纸
卷纸、草稿纸一起上交.
一、 选择题（每小题6分，共计36分）
二、 填空题（本题共6小题,每小题6分，共36分）
7、 8、 9、 10、 11、 12、
三、解答题（本题共4题,满分78分,写出必要的解题步骤）
13．(本题满分18分)
如图,已知ABC ∆内接于圆O ，AB 是直径，D 是AC 弧上的点，BD 交AC 于E ，5=AB ，
5
3
sin =
∠CAB . （1） 设m CE =，
k BE
DE
=，试用含m 的代数式表示k ； （2） 当AD ∥OC 时，求m 的值.
D
E
C
O
A
B
14.(本题满分18分)
甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动.甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.
(I)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(II)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续按照每分钟5m的速度行走,那么开始运动后多少分钟第三次同时到达同一位置?
15．(本题满分20分)
如图,已知等腰AOB Rt ∆，其中0
90=∠AOB ，1==OB OA ，E 、F 为斜边AB 上的两个动点（E 比F 更靠近A ），满足0
45=∠EOF 。
（1）求证：1=⋅BE AF .
（2）作OA EM ⊥于M ，OB FN ⊥于N ，求证：2
1=
⋅ON OM . （3）求线段EF 长的最小值.(提示：必要时可以参考以下公式：当0>x ，0>y 时，
(
)
xy y
x y x 22
+-=
+或2112
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+x x x x ).
A
B
F
E
O
N M
16．(本题满分22分) 阅读下列材料：
● 在平面直角坐标系中，若点P 1()11,y x 、 P 2()22,y x ,则P 1 、P 2两点间的距离为
221221)()(y y x x -+-。
例如：若P 1()4,3、 P 2()0,0，则P 1 、P 2两点间的距离为5)04()03(22=-+-.
● 设⊙O 是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，如果点P ()y x ,在⊙O 上，那么有等式
122=+y x ，
即122=+y x 成立；反过来，如果点P ()y x ,的坐标满足等式122=+y x ，那么点P 必在⊙O 上。
这时，我们就把等式12
2
=+y x 称为⊙O 的方程。
● 在平面直角坐标系中，若点P 0()00,y x ，则P 0到直线b kx y +=的距离为2
001k
b y kx ++-。
请解答下列问题：
（I ）写出以原点O 为圆心，以r )0(>r 为半径的圆的方程.
(II) 求出原点O 到直线n n n x n y 212)1(2
2+--=的距离. （III ）已知关于x 、y 的方程组：⎪⎩
⎪⎨⎧=++--=
)2..(....................)1.........(212)1(222
2m y x n
n n x n y ，其中0,0>≠m n . ①若n 取任意值时, 方程组都有两组不相同的实数解,求m 的取值范围. ②当2=m 时，记两组不相同的实数解分别为()11,y x 、()22,y x ，
求证：()()2
222
11y x y x -+-是与n 无关的常数，并求出这个常数.。