2018年温州中学自主招生综合素质测试数学试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、 选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置）
1.已知锐角θ满足sin θ=23
,则下列结论正确的是（ ） A 、0°＜θ＜30° B 、30°＜θ＜45° C 、45°＜θ＜60° D 、60°＜θ＜90°
2.已知23214x x ++-=，则x 的取值范围是（ ）
A 、—12≤x ≤32
B 、—32≤x ≤12
C 、—1≤x ≤0
D 、—34≤x ≤14 3．设M=20162017101101++，N=20172018101101
++，则M ，N 的大小关系为（ ） A 、M ＞N B 、M=N C 、M ＜N D 、无法判断
4．若方程（21x -）（24x -）=K 有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数K 的值为（ ）
A 、34
B 、54
C 、74
D 、94
5．已知m 是质数，,x y 均为整数，则方程x y m +=的解的个数是（ ）
A 、1
B 、3
C 、5
D 、7
6．如图1，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱长11A D ，11D C 的中点，N 为线段1B C 的中点，若点P ，M 分别为线段1D B ，EF 上的动点，则PM+PN 的最小值为（ ）
A 、1
B 、
C 7．已知实数,x y 满足22431x y xy +-=，则22x y -的最大值为（ ）
A 、1
B
C 、2
8．如图2，D ，E ，F 分别是△ABC 三边BC ，AB ，CA 上的点，AD ，BF ，CE 两两交于点X ，Y ，Z ，若1AEX BDZ CFY XYZ S S S S ∆∆∆∆====，现给出下列三个结论：
（1）AXY AFY S S ∆∆=；（2）;AXYF CYZD BZXE S S S ==（3）ABC S ∆是一个定值。

其中正确的个数为（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
图1 图2
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，请将答案填在答题卷的相应位置）
9．已知31x =-，则2124x x x -++= 。

10．函数211
x y x +=-的图象的对称中心的坐标为 。

11．已知6件产品中有4件正品，2件次品，工厂质检员小邵随机对产品逐一进行检查，直
到确定所有次品为止，则检验次数小于等于3次得概率为 。

12．方程111x x x x
-+-=的解为 。

13．如图3，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，以为DC 为直径的圆与AB 相切，与BC 交于点E ，
Eh ⊥AB 于点H ，若sin ∠HEB=13，则BH EC
= 。

14．已知函数()221,f x px qx p =+-+若()f x ≥0对于任意—1≤x ≤1,恒成立，则p q +的最
大值与最小值的和为 。

图3
三、解答题：（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．设()n f x x ax b =++，a ，b 为实数，n 为正整数，已知()18f =，()10f -=，()218f =，
()340f =。

（1）求()f x ；
（2）若对于任意正数x ，不等式()()2f x K x x ≥+恒成立，求实数K 的最大值。

16．如图，四边形ABCD 满足∠CBA=∠CBD ，∠ BAC=∠BCD ，BE ⊥CA 于E ，BF ⊥CD 于F ，H 为△BEF 的垂心，求证：D ，H ，A 三点共线。

17．如图，已知过点M （0,2）的直线L 与抛物线2y x =交于A ，B 两点，直线AO 与直线2y =-交于点C 。

（1）求证：BC ∥y 轴；
（2）若点A 在直线2y =-上的射影为D ，求四边形ABCD 面积S 的最小值。

18．将m n ⨯的表格中每个单位正方形的共()()11m n +⨯+顶点染成红色或者蓝色，（单位正方形是指边长为1的正方形）试求：
（1）如图，当2m n ==时，若每个单位正方形恰有三个顶点同色，则有多少种染色的方法？
（2）当2018m n ==时，若每个单位正方形恰有两个顶点同色，则有多少种染色的方法？
19．如图，圆O与△ABC的外接圆交于点M，N，直线MN分别与直线AB，AC交于点P，Q，过O作BC的垂线交圆O于点K，满足B，K，Q三点共线，P，K，C三点共线。

求证：∠BAK=∠CAK。