求
I
(2
x
4 3
y
z)dS
.
: y z 5, x2 y2 25
HECHUANFU
解:
dA 2 dx dy,
(x y z) dA (x 5) 2 dx dy
x2 y 2 25
0 5 2 dx dy 125 2 x2 y 2 25
东南大学
HECHUANFU
4．设 是 平面 x y z 1在第一卦限的部分, 2 34
东南大学
HECHUANFU
三重,第一型曲线,曲面 积分习题课
东南大学
HECHUANFU
三重积分,第一型曲线,曲面 积分的 对称性问题
东南大 ( x, y,z)dV ， 其中是由 x2 y2 z24
和 x2 y23z 围成的区域，试在直角坐标系、柱面坐
1 r 3dr2 1 1 .
0
0
0
44 8
东南大学
HECHUANFU
4．计算三重积分 I ( x2 y2 )dV ，其中 是由
曲线
y2
2z
绕
z
轴旋转一周所成曲面与平面z2
，
x0 z8 所围成的区域。
z
8
336 .
D( z )
2
O
y
x
东南大学
HECHUANFU
5. 计算 x2 y2 z2 1dv, 其中 由圆锥面
3. (x2 x y z)ds,
x2 y2 z2 a2 L:
L
x yz0
东南大学
三. 第 一 型 曲 面 积 分 问 题:
HECHUANFU
1.设为xo y平面上的圆域: y2 x2 1,则
(x2 y2 z2 )dA ______
东南大学
HECHUANFU
2. 1 4z dA,
: z x2 y2与 z 1围成区域的整个边界
解:
1 4z dA
1
1 4(x2 y2 ) x2 y2 1
1 4(x2 y2 )dxdy
[1 4(x2 y2)]dxdy 3 x2 y2 1
1 4z dA 1 4 dA 51 dA
2
2
2
东南大学
3. (x y z) dA,
标系和球面坐标系下分别将 I 化为三次积分。
z
z 4 x2 y2
1
o
3
x
x2 y23z
y
3
东南大学
2．将直角坐标系下的三次积分
HECHUANFU
1
I dy
y y2
dx
3( x 2 y2 )
f(
x2 y2 z2 )dz ，
0 y y2 0
分别化为柱面坐标系和球面坐标系下的三次积分。
z
z 3( x2 y2 )
o x
x2 y y2
1y
东南大学
HECHUANFU
3．计算三重积分 I ( xz)dV ，其中 是由曲面
z x2 y2 与 z 1 x2 y2 所围成的区域。 z
解： I(xz)dV xdVzdV
1
zdV
o
2
d
4 d
1 rcosr 2sindr x
1
0
00
1y
2
d
4sincosd
z x2 y2 与平面 z 1 所围成.
z
z
1
1 1
2
O
x
O
y
y
x
( 2 1).
6
东南大学
二. 第一型曲线积分问题:
HECHUANFU
1
1. L x2 y 2 z 2 ds,
x2 y2 z2 5
L:
z 1
2. (2xy 3x2 4y2 )ds, L L : x2 y2 1, L的周长为 a。 43