三重积分练习题
1． 计算cos()I y x z dxdydz Ω
=
+⎰⎰⎰，Ω由抛物柱面y =平面0,0,2
y z x z π
==+=
所围区域。

（
28
16
π-）
2． 计算I z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰
，Ω由z =与223x y z +=围成。

（134
π
）
3． 计算I Ω
=⎰⎰⎰
，Ω为由2221x y z ++≤和z ≥所围区域。

（
20
π
）
4． 已知()f x 连续，222
()[()]F t z f x y dxdydz Ω
=++⎰⎰⎰，222:0,z h x y t Ω≤≤+≤，求：
()F t '和2
0()
lim t F t t
+
→。

5． 设Ω为平面1(0,0,0)x y z
a b c a b c
++=>>>与三个坐标平面围成的四面体区域，求
(,,)I a b c z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰；
若又设a b c h ++=为定值，问,,a b c 怎样取值时，(,,)I a b c 最大，并求此最大值。

（24
,241536
a b c h ） 6． 将22()I f x y dxdydz Ω
=
+⎰⎰⎰
化为球坐标下的三次积分，其中222:1,x y z Ω++≤
0,0x y ≥≥。

7． 设()f u 具有连续导数，求2222
4
01lim
t x y z t f dxdydz t π→++≤⎰⎰⎰。

（(0)f '，若(0)0f =；∞，若(0)0f ≠）
8． 计算22
()I x y dxdydz Ω
=+⎰⎰⎰，其中Ω为平面曲线
{
2
20
y z x ==绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域。

（10243
π
）
9． 计算I Ω
=
⎰⎰⎰，其中Ω为22,1,1y x z y =+==之间。

10．设2
2
2
{(,,)|1,0}x y z x y z x y z Ω=++≤++≥，计算三重积分：
（1）22233323x y z I dxdydz x y z Ω+-=++⎰⎰⎰； （2）333
333
6233x y z I dxdydz x y z Ω
+++=+++⎰⎰⎰ 11．求2
22(),,0I x y z dv x
y z z h Ω
=
++Ω+≤≤≤⎰⎰⎰由所围立体。

12．计算下列三重积分
（1）222222
ln(1)1z x y z I dxdydz x y z Ω
+++=+++⎰⎰⎰，其中222
1x y z Ω++≤为。

（2）2
22()
222(),4,0,0,0x
y z I x z e dv x y z x y z -++Ω
=+Ω≤++≤≥≥≥⎰⎰⎰由1所围
（3）222
,:1x
I e dv x y z Ω
=Ω++≤⎰⎰⎰。

10．解：分析 本题中被积函数比较复杂，而积分区域具有关于,,x y z 轮换不变性，所以可以利用积分值与积分变量名称无关这一特点进行计算。

（1） 因为222
333333333
x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ
==++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以
原式=222
333333333
230x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ
+-=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2） 因为333
333333333
111333x y z dV dV dV x y z x y z x y z
ΩΩΩ+++==+++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以
原式=333
333333333
11123333x y z dV dV dV x y z x y z x y z
ΩΩΩ++++++++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =333333333333
1112[]333x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ++++++++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =333333
(1)(1)(1)42233x y z dV V x y z πΩ
+++++==+++⎰⎰⎰ 12．解：
（1）22
2
cos ln (1)sin 1r r I r drd d r
ϕϕθϕΩ
+=
+⎰⎰⎰
=
32212
ln (1)
sin cos 0(sin cos 0)1r r d d dr d r
πππϕϕϕθϕϕϕ+==+⎰
⎰⎰
⎰
（2）
2
2
2222
2333
1
(sin cos cos )sin (sin cos sin cos )(25)
4r r I r e r drd d d d e r dr e e
ππ
ϕθϕϕϕθ
π
ϕθϕθϕϕ-Ω
-=+⋅=+⋅=
-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（3）由对称性，知 2
22221
cos 20
1(0)
2
2sin 2z
r x y z z I e dv d d e r dr π
πϕϕθϕπ++≤≥===-⎰⎰⎰⎰⎰
⎰。