比例中项都是线段AP，这时线段AP称为线段AB
和线段PB的比例中项.
a bb2 ac bc
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP >PB）两
段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么这种分
割称为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割
点（一条线段有两个黄金分割点）.
线段AP与AB的比值 5 1 称为黄金分割数（黄 2
例题1 已知 AD AE，求证：（1） AB A；C （
DB EC
DB EC
2） AB A.C
AD AE 证明：（1）
AD
AE，
ADDBAEEC
DB EC
DABB
（合比性质），即 DB
ACEC
EC.
（2） AD AE，DB EC， DB EC AD AE
DB ADECAE AD AE
满足ba。
c d
，
那么 ab cd 是否成立？
bd
解：不妨设
a b
c d
k ，得：a=kb，c=kd，
a b k b b k 1 ,c d k d d k 1
bb
dd
ab cd 成立.
合比
b
如果
a b
d
c d ，那么
ab b
cd d
.
性质
如果 a c ，那么 ab cd .
bd
bd
证明：过点A作 AHBD ，垂足为点H.
S AO D 1 2DA O,H S AO B 1 2OA B，H
SAOD SAOB
1 DO AH
2 1
BO
AH
DO
SBOC
OB，同理：SAOB
COOA .2来自SAO DSBO ，CDOOB
CO.
OA
D
C
H
O
A
B
例题3 已知线段AB的长度是l，点P是线段
AB的一点，PB AP ，求AP的长.
比例外项
DE AD BC AB
两个外项的积等于两个内项的积,即如
果
a b
c d
，那么ad = bc.
bd ac
ab cd
cd ab
练习
如果a=10cm，b=0.2m，c=30mm，d=6cm,则下
列比例式成立的是（
）
A. a bB. bC. c D. a c
dc
da
bd
d a cb
讨论
如果线段a、b、c、d
金数），近似值为0.618，它的倒数 5 1 称为 2
黄金比.
黄金分割的应用
课后练习
1. 已知线段a=4厘米，c=9厘米，求线段a和c的比例中
项b.
b=6
2. 如图，已知AD、BE是 ABC的两条高.
求证：BC BE . AC AD
3. 已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分
割点，则较长的线段MP的长是
AP AB
解：设AP=x，则PB=l-x，
由 PB AP ，l x x ， AP AB x l
即 x2lxl20 ，解得xl 5l2 1 5l
2
2
， x
1
5l
2
AP 5 1l 2
由例题3可知，AB=l，AP 5 1l，得： 2
AP 510.618，而在比例式 PB AP 中，
AB 2
AP AB
（合比性质），即 AB AC . AD AE
课后练习
1. 已知点B在线段AC上，BC=2AB，求下列各组
线段的比值:
（1）AB : BC；（2）AC : AB；（3）BC : AC.
（1）1 ；（2）3；（3）2 .
2.
2
3
如图，已知线段BD与CE相交于点A，
AD BD
AE CE
求证：（1） AD AE ；
思考
已知
a b
c d
那么 a c 与 a
bd
b
和c
d
有什么关系？
设 a c k ，可得： ackbkdk
bd
bd bd
因此 acack bd b d
等比性质
如果
ac bd
k ，那么
ac ac k bd b d
推广
如果 a1 a2 a3 k，那么 b1 b2 b3
a1a2a3a1a2a3k b1b2b3 b1 b2 b3
5 1 厘米，
较短线段PN的长是 3 5 厘米.
AB AC
（2） AB AD .
AC AE
课后练习
3. 已知 x:y5:2，求 xy:y的值.
7 2
4. 已知 a b c ，abc36，求 a、b、c的值.
345
a9,b1,2 c1.5
例题2 已知，如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于
点O，SAODSBOC.求证：DOOB
CO
.
OA
24.2 比例线段
如图，DE是ABC的中位线，线段DE与
BC的比可记作
DE BC
（或DE : BC），于
是得到 DE 1
BC 2
对于四条线段a、b、c、d ，
如果 a : b=c : d （或
）a ，c
bd
那么 a、b、c、d 叫做成比例线段，
简称比例线段.
比例线段
比例内项
a:b=c:d
比例是指四条线段 之间的一种关系， 它们有顺序要求。