第一章
习题1-1
1. 用区间表示下列不等式的解.
⑴ x%9; (2) x — 1 1；
(3) (x-1)(x 2) :0; (4) 0 . x 1:: 0.01
解(1)原不等式可化为(x —3)(x+3)苴0 ,其解为—3苴x<3,用区间表示是[-3,3].
(2) 原不等式可化为x—1》1或x—1<—1 ,其解为x》2或x<0 ,用区间表示是
(-8 ,0^(2,+ 8 ).
(3) 原不等式的解为—2 e x <1,用区间表示是(-2,1).
-0.01 ：x 1 ：0.01 口-1.0 V： x ：-0.99
(4) 原不等式可化为4 即/
x 1=0 x=1
用区间表示是(-1.01,-1) U (-1,-0.99).
2. 用区间表示下列函数的定义域：
(1) y =[ - .1 -x2；(2) y = arcsin(1 - x) ig(ig x)；
x
(3) y = . 6 -5x -x2 ---------- - --- .
ln(2 -x)
a - x=0 r x = 0
解⑴要使函数有意义，必须｛… 即4
1-x2-0 -1%&1
所以函数的定义域为[-1,0) U (0,1].
(2)要使函数有意义，必须J lg x A 0 即< x A1
x 0 x 0
所以函数的定义域是1<x s ；2,用区间表示就是(1,2].
6 —5x —x 2 _0
—6 壬 X&1
(3)要使函数有意义，必须<ln(2 - x) #0 即<x #1 所以函数的定义域是-6孑<1,用区间表示就是[-6,1).
3. 确定下列函数的定义域及求函数值 f(0),f( J2),f(a)(a 为实数),并作出图形
r 1 八
一，x <0, x (1)y=<2x,0 5<1‘ 1,1 ：x&2
解(1)函数的定义域
D(f) ={x|x ：：： 0}IJ{x|0 £x ："J{x|1 ：：： x £2}
= {x|x ：：1 或 1，： x 三 2}=(-二,1)U(1,2]
1
一 a < 0
f (o )=2 °=。

，f 、.2 =1, f (a )= 2a 0.01
1 1 ： a H
(2)y= J f -x , x S
x -1,1 ：：： x :：: 2
D(f) ={x| x £1}U{x|1」x < 2} ={x| x ：2} = (-2,2)
f (0) f 1 -02 -1, f 糖)=(妇 T=1, f(a) = J^7^ a &
a -1 1
：
a <2 兴
1, x <1 4 .设 f (x) =1 「1,x 》1
,求 f(f(x)).
解 当 |x| < 日寸,f(x)=1, f(f(x))= f(1)=1;
2 2
解(1) f(—x)=1—(—x) =U=f(x)
cos(-x) cosx
•■- f(x)是偶函数.
. 2 2 2 .
(2) .• f(—x)=[(—x )+(—x)]sin(—x) =(x _x)(—sinx) =—(x _x)sinx# f(x) 且 f (-x) 一：一f (x),
••• f(x)是非奇非偶函数.
(3广当 x<0 时，-x>0, f(_x)=e^—1 = —(1 —e") = —f(x); 当 XAO 时，-x<0, f (―x)=1 —e^z =1—e x = —(e x —1) = —f(x), 综上所述,P x ^ R ，有f(-x)=- f(x)，所以f(x)是奇函数.
6. 设f(x)在区间(-l,l)内有定义，试证明:
⑴f(-x)+f(x)为偶函数；
(2) f(-x) -f(x)为奇函数.
证(1)令 F(x) = f (—x) + f (x) V x W (-|,l)有 F(—x)= f[-(—x)] + f(—x) = f (x) + f(—x) = F(x) 所以F (x) = f (—x) + f (x)是偶函数;
⑵令 F(x) = f(—x) —f(x),
鼠亡(T,l)有 F(—x) = f[-(—x)] — f(—x) = f (x) — f(—x)=—[f(—x) —f(x)]=—F(x)
所以F(x) = f(-x) - f(x)是奇函数.
7.
试证：(1)两个偶函数的代数和仍为偶函数；
(2)奇函数与偶函数的积是奇函数 . 证(1)设 f(x),g(x)均为偶函数，令 F(x)= f (x)±g(x)
则 F(-x) = f (-x) _g(-x) = f (x) _g(x) = F (x),
所以f(x) 士 g(x)是偶函数，即两个偶函数的代数和仍为偶函数
当 |x|>1 时，f(x)=-1, f(f(x))= f(-
1)=1, 综上所述 f(f(x))=1(x€ R).
5. 判定下列函数的奇偶性：
f 1 -x 2
⑴f(x)=——；
cosx (2)f(x) = (x 2 + x)sinx;
⑶ f(x)= J
1 —etx^0 e x 「1,x 0。