基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.题型二：利用不等式求函数值域 题目1、求下列函数的值域 （1）22213xx y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224xy x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

题目2、若02<<x ，求y x x =-()63的最大值；变式：若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值；题目3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值；变式：求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题 题目1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值；变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最小值。

变式4：已知0,>y x ，且194x y+=，求x y +的最小值； 变式5：（1）若0,>y x 且12=+y x ，求11x y+的最小值；（2）若+∈R y x b a ,,,且1=+ybx a ，求y x +的最小值；变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求nm 41+的最小值；变式7：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是（ ）A.245B.285 C ．5 D ．6变式8：设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为 （ ）． A ．14B ．1C ．4D ．8变式9：已知0a b >>，且2a b +=，则213a b a b++-的最小值为变式10：已知01x <<，0a >，0b >，求221a b y x x=+-的最小值.变式11：求183(0)2322x x x +<<-的最小值变式12：已知(0,)2πθ∈，求函数2214()sin cos f θθθ=+的最小值变式13：设正实数b a , 满足ba ab a 81,2+=+则的最小值为 ．变式14：【2013天津理】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.变式15：设0,1a b >> 满足2a b +=，则11a b a+-的最小值为 ．变式16：已知,a b R +∈且21a b +=，则2214a b+的最小值是 .题型六：分离换元法求最值（了解）题目1、求函数)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域；变式：求函数)1(182>-+=x x x y 的值域；题目2、求函数522++=x x y 的最大值；变式：求函数941++=x x y 的最大值；题型七：基本不等式的综合应用题目1、已知1log log 22≥+b a ，求ba93+的最小值题目2、已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；变式1：（2010四川）如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式)(112b a a ab a -++的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线0=+-n y mx 上，求nm24+的最小值；变式3：【2017天津】若,,0a b R ab ∈>，则4441a b ab++的最小值为题目3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；变式2：已知0,>y x ，312121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：已知0,>y x ，122=++xy y x ，求xy 最大值；题目4、（2013年山东（理））设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,z y x 212-+的最大值为（ ） （ ）A ．0B ．1C ． 49D ．3变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xzy 2的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围 题目1、已知0,>y x ，且9)1)((≥++yax y x 恒成立，求正实数a 的最小值；2、已知0>>>z y x 且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，如果+∈N n ，求n 的最大值；（参考：4）变式：已知0,>b a 满则241=+ba ，若cb a ≥+恒成立，求c 的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈若,,,a b c d R∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+2、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( ),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad db c a R d c b a ==∈2)())()(3(bd ac d c b a +≥++),0,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc ad c b a ==≥3、二维形式的柯西不等式的向量形式≤),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→→→→==ββk a k4、三维柯西不等式若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++),,(332211时等号成立当且仅当b a b a b a R b a i i ==∈ 5、一般n 维柯西不等式设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有: 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+),,(2211时等号成立当且仅当nn i i b a b a b a R b a ==∈ 【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题目1、设,,x y z R ∈，若2224x y z ++=，则z y x 22+-的最小值为 时，=),,(z y x析：]2)2(1)[()22(2222222+-+++≤+-z y x z y x3694=⨯=∴z y x 22+-最小值为6- 此时322)2(16221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，34-=z题目2、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求222x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。