因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以
1 1 1 ＋11＋ ≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号)，所 ≥ 1 . 所以 b ab a 1 1 以a＋1b＋1的最小值是
4.
变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么( A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) )
应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的 最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需 要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适 当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 4 函数 f(x)＝ ＋x(x<3)的最大值是( x－3 A．－4 C．5 B．1 D．－1 )
1 2 y 法二：因为 ＋ ＝1，所以 x＝ . x y y－ 2 因为 x>0，y>0，所以 y－2>0. y2－y （y－2）2＋3（y－2）＋2 y 所以 x＋y＝ ＋ y＝ ＝ ＝ y－ 2 y－ 2 y－ 2
2 2 y－2＋ ＋3≥3＋2 2当y－2＝y－2，即y＝2＋ 2 y－ 2
已知 a>0，b>0 且
[点拨]
1 1 a＋b＝2，求a＋1b＋1的最小值．
由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开
后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 3 ab＋1，
1 1 1 1 1 1 a＋b 由题得 a＋1 b＋1 ＝ab＋a＋b＋1＝ab＋ ab ＋1＝
[点拨] 根据待求式的特征及 0<x<1 知 x>0，1－x>0.又 1＝x
＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．
【解】
因为 0<x<1，所以 1－x>0.
a2 b2 a2 b2 a2 b2 所以 ＋ ＝ · 1＋ · 1＝ · [x＋(1－x)]＋ · [x＋(1 x 1－x x x 1－x 1－ x －x)]
【答案】 A
f（x） 形如 型函数变形后使用基本不等式 g（x） f （ x） 若 y＝ 中 f(x)的次数小于 g(x)的次数， 可取倒数后 g（x） 求其最值．
（x＋5）（x＋2） 求函数 y＝ (x≠－1)的值域． x＋1
[点拨] B 将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为 f(x)＝Ax＋ x
≤
y2 2 2 92 y 3 2x ＋1＋ 3 2 2 3· ＝3×2 .当且仅当 2x ＝1＋ 3 ，即 x＝2，y 2 42 9 2 ＝ 时，等号成立．故 x 6＋2y 的最大值为 3. 2 2
展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最 值．
2 y 若 x>0，y>0，且 2x2＋ ＝8，求 x 6＋2y2的最大值． 3
[点拨]
由于已知条件式中有关 x，y 的式子均为平方式，而
所求式中 x 是一次的，且根号下 y 是二次的，因此考虑平方 后求其最值．
【解】
(x
6＋2y2 )2 ＝ x2(6 ＋ 2y2) ＝
2 y 3· 2x2 1＋ 3
时取等号，此时x＝ 2＋1.
a b 求以形如或可化为 ＋ ＝1 型为条件的 cx＋dy(a，b，c，d 都 x y 1 2 不为 0)的最值可利用“1”的代换求乘法． 本题中的条件x＋ y ＝ 1 也可化为 2x＋y－xy＝0.
a2 b2 若 a，b 为常数，且 0<x<1，求 f(x)＝ x ＋ 的最小 1－x 值．
用“1”的代换法求最值
1 2 已知x＋y ＝1，且 x>0，y>0，求 x＋y 的最小值．
【解】
法一：因为 x>0，y>0，所以 x＋y＝(x＋y)· 1＝(x＋ y 2x x·y ＝3＋2 2.
1 2 y 2x y)·x＋ y ＝3＋x＋ y ≥3＋2
y 2x 1 2 当且仅当x＝ y ，且x＋ y ＝1，即 x＝ 2＋1，y＝2＋ 2时，上 式等号成立．故 x＋y 的最小值是 3＋2 2.
【解析】
因为 x<3，所以 3－x>0，所以 f(x)＝ 4 · （3－x）＋ 3＝－ 1. 当 3－x
4 － 3－x＋（3－x） ＋ 3≤－ 2
4 且仅当 ＝3－x，即 x＝1 时等号成立，所以 f(x)的最大值 3－x 是－ 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
＋C 的形式，然后运用基本不等式求解．
【解】
（x＋5）（x＋2） x2＋7x＋10 因为 y＝ ＝ x＋1 x＋1
（x＋1）2＋5（x＋1）＋4 4 ＝ ＝x＋1＋ ＋5， x＋1 x＋1 当 x＋1>0 时， 即 x>－1 时， y≥ 2 且仅当 x＝1 时取等号)； 当 x＋1<0，即 x<－1 时，y≤5－2 仅当 x＝－3 时取等号)． 所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)． 4 （x＋1）· ＝1(当且 x＋ 1 4 （x＋1）· ＋5＝9(当 x＋ 1
2 2 a （ 1 － x ） b x 2 2 2 2 2 ＝a ＋ ＋ ＋ b ≥ a ＋ b ＋ 2 ab ＝ ( a ＋ b ) . x 1－x
【解析】
a＋b 2 因为 ab－(a＋b)＝1，ab≤( )， 2 a＋b 的一元二次不等式，
a＋b 2 所以 2 －(a＋b)≥1，它是关于
解得 a＋b≥2( 2＋1)或 a＋b≤2(1－ 2)(舍去)， 所以 a＋b 有最小值 2( 2＋1)． 又因为 ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2 ab， 所以 ab－2 ab≥1，它是关于 ab的一元二次不等式， 解得 ab≥ 2＋1 或 ab≤1－ 2(舍去)， 所以 ab≥3＋2 2，即 ab 有最小值 3＋2 2.